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→Lumpability
这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的Finite Markov Chains<ref name=":3">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。
这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的Finite Markov Chains<ref name=":3">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。
===初始定义===
===最初定义===
为了严谨的介绍这一定义，我们会详细翻译文章中的部分。不感兴趣的读者可以跳到更简洁直观的‘lumpable partition的充分必要条件'部分。
为了严谨的介绍这一定义，我们会详细翻译文章中的部分。不感兴趣的读者可以跳到更简洁直观的‘lumpable partition的充分必要条件'部分。
对于任意state partition <math>A</math>，我们能够定义一个lumped process，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>投影到<math>A</math>的空间上。
对于任意state partition <math>A</math>，我们能够定义一个lumped process，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>投影到<math>A</math>的空间上。
'''''定义1'''''：'''Lumped process，微观轨迹在宏观空间上的投影，可以写作下列公式：'''
'''''定义1'''''：'''Lumped process'''
'''Lumped process，是微观轨迹在宏观空间上的投影。这种投影可以写作下列公式：'''
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'''对于一个给定的state partition <math>A</math>，当下列两个条件都满足时，<math>A</math>是一个lumpable partition。'''
'''对于一个给定的state partition <math>A</math>，当下列两个条件都满足时，<math>A</math>是一个lumpable partition。'''
# '''定义1中的lumped process具有马尔科夫性，即式子(3.3)可写成<math>Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k, ... , s^{(1)} \in A_j, s^{(0)} \in A_i \right ] = Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k \right ]</math>时'''
# '''定义1中式子(3)描述的lumped process具有马尔科夫性，即式子(3.3)可写成<math>Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k, ... , s^{(1)} \in A_j, s^{(0)} \in A_i \right ] = Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k \right ]</math>'''
# '''转移概率(Transition probability)，即式子(3.3)对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致时，'''
# '''转移概率(Transition probability)，即式子(3.3)，对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致'''
不满足上述两个条件的，都不被定义为lumpable partition。也就是说，不是所有的lumped process都是lumpable的，即使他们的命名方式相似。
不满足上述两个条件的，都不被定义为lumpable partition。也就是说，不是所有的lumped process都是lumpable的，即使他们的命名方式相似。
顺着这个条件，我们也能对lumpable partition，定义宏观动力学<math>\{A^{(0)}, ... , A^{(t-1)} \}</math>了：
顺着这个条件，我们也能对lumpable partition，定义宏观动力学<math>\{A^{(0)}, ... , A^{(t-1)} \}</math>了：
'''''定义3'''''：'''lumpability的宏观动力学'''
'''对于给定的微观状态<math>S</math>，微观动力学<math>p_{s_k \rightarrow s_m}</math>和lumpable partition <math>A</math>，宏观动力学<math>p_{A_i \rightarrow A_j}</math>等于<math>A_i</math>中任意状态<math>s_k</math>到<math>A_j</math>的概率：'''
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