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'''必要性部分的证明：'''

'''必要性部分的证明：'''

必要性是指，如果我们想要说明一个马尔可夫链和partition <math>A</math>是lumpable，那么就肯定会满足上述的这个特定条件。

必要性是指，如果一个马尔可夫链的partition <math>A</math>是lumpable，那么就肯定会满足上述的这个特定条件。

对于lumpable partition <math>A</math>，我们知道其满足宏观马尔可夫性，且<math>Pr_{\pi} [ s^{(1)} \in A_j | s^{(0)} \in A_i ]</math>对每个<math>\pi</math>保持一致，即在<math>t=0</math>时无论从哪个具体的初始状态<math>\pi</math>开始，只要它属于<math>A_i</math>这个群组里，在<math>t=1</math>时刻转移到<math>A_j</math>的概率都相同。

从lumpable partition 的定义可知，<math>A</math>的转移概率满足宏观马尔可夫性，且这个转移概率<math>Pr_{\pi} [ s^{(1)} \in A_j | s^{(0)} \in A_i ]</math>对每个<math>\pi</math>保持一致，即在<math>t=0</math>时无论从哪个具体的初始状态<math>\pi</math>开始，只要它属于<math>A_i</math>这个群组里，在<math>t=1</math>时刻转移到<math>A_j</math>的概率都相同。

我们设这个（<math>A_i</math>中任意微观状态<math>s_k</math>的）共同的转移概率为<math>\hat{p}_{A_i \rightarrow A_j}</math>。当初始状态<math>\pi</math>属于某个<math>A_i</math>时（<math>\pi \in A_i</math>），<math>p_{s_k \rightarrow A_j} = Pr_{\pi \in A_i} [ s^{(1)} \in A_j ] = \hat{p}_{A_i \rightarrow A_j}</math>。

我们设这个（<math>A_i</math>中任意微观状态<math>s_k</math>的）共同的转移概率为<math>\hat{p}_{A_i \rightarrow A_j}</math>。当初始状态<math>\pi</math>属于某个<math>A_i</math>时（<math>\pi \in A_i</math>），<math>p_{s_k \rightarrow A_j} = Pr_{\pi \in A_i} [ s^{(1)} \in A_j ] = \hat{p}_{A_i \rightarrow A_j}</math>。

'''充分性部分的证明：'''

'''充分性部分的证明：'''

充分性是指，如果我们能够证明马尔可夫链满足这个条件，那么这个马尔可夫链和partition <math>A</math>就是lumpable。我们要证明的是，如果上述条件满足，那么马尔可夫性成立，即对于任何给定的<math>t</math>，转移概率<math>Pr \left [ s^{(t)} \in A_j | s^{(t-1)} \in A_i, \ldots, s^{(1)} \in A_k, s^{(0)} \in A_m \right ]</math>只依赖于<math>A_i</math>和<math>A_j</math>，而不依赖于<math>A_i</math>中的具体状态或是<math>t-1</math>前的宏观状态。

充分性是指，如果一个马尔可夫链的某个partition <math>A</math>满足这个条件，那么它就是lumpable。我们要证明的是，如果上述条件满足，那么马尔可夫性成立，即对于任何给定的<math>t</math>，转移概率<math>Pr \left [ s^{(t)} \in A_j | s^{(t-1)} \in A_i, \ldots, s^{(1)} \in A_k, s^{(0)} \in A_m \right ]</math>只依赖于<math>A_i</math>和<math>A_j</math>，而不依赖于<math>A_i</math>中的具体状态或是<math>t-1</math>前的宏观状态。

由于对于所有<math>s_k \in A_i</math>，转移概率<math>p_{s_k \rightarrow A_j} = p_{A_i \rightarrow A_j}</math>，这意味着无论我们从<math>A_i</math>中的哪个微观状态转移过来，转移到<math>A_j</math>的概率都是相同的。

条件要求所有<math>s_k \in A_i</math>，转移概率<math>p_{s_k \rightarrow A_j} = p_{A_i \rightarrow A_j}</math>，这意味着无论我们从<math>A_i</math>中的哪个微观状态转移过来，转移到<math>A_j</math>的概率都是相同的。

因此，当我们知道<math>t-1</math>的宏观状态是<math>A_i</math>时，我们计算<math>t</math>时刻转移到<math>A_j</math>的概率时，不需要关心<math>A_i</math>中的具体状态。

因此，当我们知道<math>t-1</math>的宏观状态是<math>A_i</math>时，我们计算<math>t</math>时刻转移到<math>A_j</math>的概率时，不需要关心<math>A_i</math>中的具体状态。

所以，由于转移概率只依赖于群组<math>A_i</math>和<math>A_j</math>，而不依赖于<math>A_i</math>中的具体状态，因此我们可以将<math>A_i</math>中的所有状态合并为一个状态，并且这个合并后的链仍满足马尔可夫性。故，上述条件为lumpability的充分条件。

由于转移概率只依赖于群组<math>A_i</math>和<math>A_j</math>，而不依赖于<math>A_i</math>中的具体状态，因此我们可以将<math>A_i</math>中的所有状态合并为一个状态，并且这个合并后的链仍满足马尔可夫性。所以，上述条件为lumpability的充分条件。