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<math> Syn(X_{t}; X_{t+1}) > 0 </math>.  

<math> Syn(X_{t}; X_{t+1}) > 0 </math>.  

在这种背景下，因果涌现被理解为在马尔可夫动力系统中，先前时刻和后续时刻变量之间的协同效应。然后，Rosas在<math> \Phi ID </math>框架中进一步将因果涌现分为两个部分，向下因果性和因果解耦，这是基于信息原子的不同特征。通过使用<math> \Phi ID </math>分解互信息I(Xt; Xt+1)得到的十六个信息原子中，有四个信息原子对应于协同效应，这被视为因果涌现的组成。这些原子表示为I∂{12}→α(Xt, Xt+1)，其中<math>\alpha \in  A = \{\{\{1\}\{2\}\}, \{1\}, \{2\}, \{12\}\} </math>。

在这种背景下，因果涌现被理解为在马尔可夫动力系统中，先前时刻和后续时刻变量之间的协同效应。然后，Rosas在<math> \Phi ID </math>框架中进一步将因果涌现分为两个部分，向下因果性和因果解耦，这是基于信息原子的不同特征。通过使用<math> \Phi ID </math>分解互信息<math> I(X_{t}; X_{t+1}) </math>I(Xt; Xt+1)得到的十六个信息原子中，有四个信息原子对应于协同效应，这被视为因果涌现的组成。这些原子表示为<math> I_{\partial_{12} \rightarrow \alpha}(X_{t}, X_{t+1}) </math>I∂{12}→α(Xt, Xt+1)，其中<math>\alpha \in  A = \{\{\{1\}\{2\}\}, \{1\}, \{2\}, \{12\}\} </math>。

此外，Rosas还提供了一种量化特定宏观变量（即粗粒化策略）因果涌现的方法。如果一个系统具有产生因果涌现的能力，那么它可能会有一些表现出因果涌现的宏观特征。如果一个特征变量V在系统在时间t的完整状态X已知且精确度完美的情况下，对于时间t+1的未来状态没有提供任何预测能力，那么这个特征变量V被认为是依赖于底层系统的。这等同于Vt在给定Xt的情况下与Xt+1统计独立。然后，对于由Xt描述的系统，如果一个依赖特征Vt表现出因果作用，当且仅当：
Un(Vt; Xt+1|Xt) > 0。

此外，Rosas还提供了一种量化特定宏观变量（即粗粒化策略）因果涌现的方法。如果一个系统具有产生因果涌现的能力，那么它可能会有一些表现出因果涌现的宏观特征。如果一个特征变量V在系统在时间t的完整状态X已知且精确度完美的情况下，对于时间t+1的未来状态没有提供任何预测能力，那么这个特征变量V被认为是依赖于底层系统的。这等同于Vt在给定Xt的情况下与Xt+1统计独立。然后，对于由Xt描述的系统，如果一个依赖特征Vt表现出因果作用，当且仅当：
<math> \text{Un}(V_{t}; X_{t+1} \mid X_{t}) > 0 </math>Un(Vt; Xt+1|Xt) > 0。

对于这个定义，系统的因果涌现能力是必需的，其中 Syn(Xt; Xt+1) > 0，因为对于任何超涌现特征 Vt，都有 Un(Vt; Xt+1|Xt) ≤ Syn(Xt; Xt+1) 成立。对应于系统能力的分类，当 Un(Vt; Xt+1|Xt) > 0或者 Un(Vt; Xt^2 + 1 | Xt) > 0时，特征变量 V 存在向下的因果作用。

对于这个定义，系统的因果涌现能力是必需的，其中 <math> \text{Syn}(X_{t}; X_{t+1}) > 0 </math> Syn(Xt; Xt+1) > 0，因为对于任何超涌现特征 Vt，都有 <math> \text{Un}(V_{t}; X_{t+1} \mid X_{t}) \leq \text{Syn}(X_{t}; X_{t+1}) </math> Un(Vt; Xt+1|Xt) ≤ Syn(Xt; Xt+1) 成立。对应于系统能力的分类，当 <math> \text{Un}(V_{t}; X_{t+1} \mid X_{t}) > 0 </math>Un(Vt; Xt+1|Xt) > 0或者 <math> \text{Un}(V_{t}; X_{t}^{2} + 1 \mid X_{t}) > 0 </math>Un(Vt; Xt^2 + 1 | Xt) > 0时，特征变量 V 存在向下的因果作用。

当 Un(Vt; Vt+1|Xt, Xt+1) > 0 时，存在因果解耦，这也取决于系统的容量。此外，如果 Un(Vt; Xtα+1|Xt) = 0 且 Un(Vt; Xt+1|Xt) > 0，则称 Vt 具有纯粹的因果解耦。如果所有涌现特征都表现出纯粹的因果解耦，则称系统是完全解耦的。

当 <math> \text{Un}(V_{t}; V_{t+1} \mid X_{t}, X_{t+1}) > 0 </math>Un(Vt; Vt+1|Xt, Xt+1) > 0 时，存在因果解耦，这也取决于系统的容量。此外，如果 <math> \text{Un}(V_{t}; X_{t}^{\alpha} + 1 \mid X_{t}) = 0 </math>Un(Vt; Xtα+1|Xt) = 0 且 <math> \text{Un}(V_{t}; X_{t+1} \mid X_{t}) > 0 </math>Un(Vt; Xt+1|Xt) > 0，则称 Vt 具有纯粹的因果解耦。如果所有涌现特征都表现出纯粹的因果解耦，则称系统是完全解耦的。

三个指标如下：

三个指标如下：

1. Ψt,t+1(V) := I(Vt; Vt+1) − ∑j I(Xtj; Vt+1)，这个指标衡量的是两个时间步长之间宏观变量的互信息减去每个微观状态与宏观状态之间的互信息。

1. <math> \Psi_{t, t+1}(V) := I(V_{t}; V_{t+1}) - \sum_{j} I(X_{tj}; V_{t+1}) </math> Ψt,t+1(V) := I(Vt; Vt+1) − ∑j I(Xtj; Vt+1)，这个指标衡量的是两个时间步长之间宏观变量的互信息减去每个微观状态与宏观状态之间的互信息。

2. ∆t,t+1(V) := maxj I(Vt; Xtj+1) − ∑i I(Xti; Xtj+1)，这个指标是Vt与Xtj+1之间互信息的最大值与Xti与Xtj+1之间互信息总和之间的差的最大值。

2. <math> \Delta_{t, t+1}(V) := \max_{j} I(V_{t}; X_{tj+1}) - \sum_{i} I(X_{ti}; X_{tj+1}) </math> ∆t,t+1(V) := maxj I(Vt; Xtj+1) − ∑i I(Xti; Xtj+1)，这个指标是Vt与Xtj+1之间互信息的最大值与Xti与Xtj+1之间互信息总和之间的差的最大值。

3. Γt,t+1(V) := maxj I(Vt; Xtj+1)，这个指标是Vt与Xtj+1之间最大互信息。

3. <math> \Gamma_{t, t+1}(V) := \max_{j} I(V_{t}; X_{tj+1}) </math> Γt,t+1(V) := maxj I(Vt; Xtj+1)，这个指标是Vt与Xtj+1之间最大互信息。

对于上述指标，V是一个预定义的宏观变量。
这些指标的具体用途如下：


对于上述指标，V是一个预定义的宏观变量。
这些指标的具体用途如下：


1. 当Ψt,t+1(V) > 0时，这是Vt因果涌现的充分条件。

1. 当<math> \Psi_{t, t+1}(V) > 0 </math> Ψt,t+1(V) > 0时，这是Vt因果涌现的充分条件。

2. 当∆t,t+1(V) > 0时，这是Vt表现出向下因果的充分条件。

2. 当<math> \Delta_{t, t+1}(V) > 0 </math> ∆t,t+1(V) > 0时，这是Vt表现出向下因果的充分条件。

3. 当Ψt,t+1(V) > 0且Γt,t+1(V) = 0时，这构成了因果解耦的充分条件。

3. 当<math> \Psi_{t, t+1}(V) > 0 \quad \text{and} \quad \Gamma_{t, t+1}(V) = 0 </math>Ψt,t+1(V) > 0且Γt,t+1(V) = 0时，这构成了因果解耦的充分条件。

总的来说，Rosas提出了一种基于<math> \Phi ID </math>的定量表征和分类因果涌现的方法，通过建立因果涌现与不同时间点变量的协同效应之间的关系，并进一步对因果涌现进行了分类。该定义不仅提供了对系统因果出现能力的客观评估，而且能够衡量与特定宏观特征相关的因果出现。他的重要贡献包括弥合因果出现研究与定量实证研究之间的差距，对不同类型的因果出现进行分类，以及补充关于这一主题的哲学讨论。

总的来说，Rosas提出了一种基于<math> \Phi ID </math>的定量表征和分类因果涌现的方法，通过建立因果涌现与不同时间点变量的协同效应之间的关系，并进一步对因果涌现进行了分类。该定义不仅提供了对系统因果出现能力的客观评估，而且能够衡量与特定宏观特征相关的因果出现。他的重要贡献包括弥合因果出现研究与定量实证研究之间的差距，对不同类型的因果出现进行分类，以及补充关于这一主题的哲学讨论。