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'''微观尺度'''：微观系统由四个布尔元素组成[math]S_m = \{ABCD\}[/math] (图A)，其中A和B一组，C和D一组，每个元素[math]t+1[/math]时刻的状态由另一组两个元素[math]t[/math]时刻的状态决定。机制是一个带噪声的AND门，图A右侧为详细的对应关系。举例来看，假设[math]t[/math]时刻CD = {00}，则[math]t+1[/math]时刻，A和B每个元素有0.7的概率为0，0.3的概率为1，AB组水平的状态总共可能有以下四种：{00}，{01}，{10}，{11}，每种组状态概率由组成元素单独的状态概率相乘得到，所以分别对应为0.49，0.21，0.21，0.09，满足概率之和为1。考虑到每个元素都有两个可能状态，则系统总共有[math]2^4=16[/math]个可能的状态，将系统以等概率设置为所有可能的微观状态，可以计算得到一个16 × 16 [math]S_m[/math] 的概率转移矩阵(图C)，计算可以按照上面举例的组水平状态集合间的转移概率来算。再根据EI的公式可以计算得到有效信息[math]EI(S_m) = Det(S_m) - Deg(S_m) = 1.35 - 0.20 = 1.15 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_m) = EI(S_m)/logN = 1.15/4 = 0.29[/math]。

'''微观尺度'''：微观系统由四个布尔元素组成[math]S_m = \{ABCD\}[/math] (图A)，其中A和B一组，C和D一组，每个元素[math]t+1[/math]时刻的状态由另一组两个元素[math]t[/math]时刻的状态决定。机制是一个带噪声的AND门，图A右侧为详细的对应关系。举例来看，假设[math]t[/math]时刻CD = {00}，则[math]t+1[/math]时刻，A和B每个元素有0.7的概率为0，0.3的概率为1，AB组水平的状态总共可能有以下四种：{00}，{01}，{10}，{11}，每种组状态概率由组成元素单独的状态概率相乘得到，所以分别对应为0.49，0.21，0.21，0.09，满足概率之和为1。考虑到每个元素都有两个可能状态，则系统总共有[math]2^4=16[/math]个可能的状态，将系统以等概率设置为所有可能的微观状态，可以计算得到一个16 × 16 [math]S_m[/math] 的概率转移矩阵(图C)，计算可以按照上面举例的组水平状态集合间的转移概率来算。再根据EI的公式可以计算得到有效信息[math]EI(S_m) = Det(S_m) - Deg(S_m) = 1.35 - 0.20 = 1.15 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_m) = EI(S_m)/logN = 1.15/4 = 0.29[/math]。

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'''粗粒化映射'''：从图C可以看出，这个概率转移矩阵非常复杂，但同时矩阵也有一些规律可循，比如前12行和后4行的模式差异较大，前12行中每4行的模式都是重复的。因此思考是否可以提炼出其中的规律，更加高效地表达系统间的状态转移模式。首先可以看系统内是有分组机制，四个元素被分为了两组，每组都接受另一组元素的输入且响应机制相同，同组元素的状态之间不会互相影响，因此同组元素之间是独立等价的，可以被映射或归类为同一个宏观元素。微观系统[math]S_m = \{ABCD\}[/math]可以被粗粒化为有两个元素[math]{α, β}[/math]的宏观系统[math]S_M[/math]。考虑微观状态的转移机制(图A右侧)，输入值00，01和10决定状态的规则相同，输入值11对应另一种，因此每个宏观元素状态可以映射为{"off" ,"on"}两种(图B,D)。

'''粗粒化映射'''：从图C可以看出，这个概率转移矩阵非常复杂，但同时矩阵也有一些规律可循，比如前12行和后4行的模式差异较大，前12行中每4行的模式都是重复的。因此思考是否可以提炼出其中的规律，更加高效地表达系统间的状态转移模式。首先可以看系统内是有分组机制，四个元素被分为了两组，每组都接受另一组元素的输入且响应机制相同，同组元素的状态之间不会互相影响，因此同组元素之间是独立等价的，可以被映射或归类为同一个宏观元素。微观系统[math]S_m = \{ABCD\}[/math]可以被粗粒化为有两个元素[math]{α, β}[/math]的宏观系统[math]S_M[/math]。考虑微观状态的转移机制(图A右侧)，输入值00，01和10决定状态的规则相同，输入值11对应另一种，因此每个宏观元素状态可以映射为{"off" ,"on"}两种(图D)。

 

'''宏观尺度'''：宏观系统现在由2个元素组成，每个元素由2个状态，所以宏观系统整体共有[math]2^2=4[/math]个可能的状态。将系统以等概率设置为所有可能的宏观状态，根据宏观的转移规则，可以得到 4 × 4 的[math]S_M[/math] 概率转移矩阵(图E)。由图E可见，矩阵规模减小，但是状态间的转移规律更明确。宏观尺度下[math]EI(S_M) = Det(S_M) - Deg(S_M) = 1.56 - 0.01 = 1.55 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_M) = 0.78[/math]，高于微观尺度的[math]EI(S_m) = 1.15 \text{ bits}[/math]。因此，因果涌现度量[math]CE(S) = EI(S_M) - EI(S_m) = 0.40 \text{ bits}[/math]，宏观的因果性优于微观，因果涌现发生。

'''宏观尺度'''：宏观系统现在由2个元素组成，每个元素由2个状态，所以宏观系统整体共有[math]2^2=4[/math]个可能的状态。将系统以等概率设置为所有可能的宏观状态，根据宏观的转移规则，可以得到 4 × 4 的[math]S_M[/math] 概率转移矩阵(图E)。由图E可见，矩阵规模减小，但是状态间的转移规律更明确。宏观尺度下[math]EI(S_M) = Det(S_M) - Deg(S_M) = 1.56 - 0.01 = 1.55 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_M) = 0.78[/math]，高于微观尺度的[math]EI(S_m) = 1.15 \text{ bits}[/math]。因此，因果涌现度量[math]CE(S) = EI(S_M) - EI(S_m) = 0.40 \text{ bits}[/math]，宏观的因果性优于微观，因果涌现发生。

本例中，在宏观尺度的有效性[math]\Delta I_{Eff}[/math]的增益主要来自于减少噪声干扰，即确定性提高（归一化后：[math]Det(S_m) = 0.34[/math]; [math]Det(S_M) = 0.78[/math]），少部分来源于简并性减少（归一化后：[math]Deg(S_m) = 0.05[/math]; [math]Deg(S_M) = 0.006[/math]）。

本例中，在宏观尺度的有效性[math]\Delta I_{Eff}[/math]的增益主要来自于减少噪声干扰，即确定性提高（归一化后：[math]Det(S_m) = 0.34[/math]; [math]Det(S_M) = 0.78[/math]），少部分来源于简并性减少（归一化后：[math]Deg(S_m) = 0.05[/math]; [math]Deg(S_M) = 0.006[/math]）。

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