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===<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}</math>的列构成正交标准基===

===<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}</math>的列构成正交标准基===

由于<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>都是酉矩阵，它们的列分别形成一组[[标准正交向量]]（orthonormal vectors），我们可以将其视为[[基向量]]（basis vectors）。矩阵<math>\mathbf{M}</math>把基向量<math>\mathbf{V}_i</math>映射到拉伸后的单位向量<math>\sigma_i\mathbf{U}_i</math>上。根据酉矩阵的定义，它们的共轭转置<math>\mathbf{U}^*</math>和<math>\mathbf{V}</math>也具有相同性质，只是失去了奇异值作为拉伸的几何解释。简言之，<math>\mathbf{U}</math>、<math>\mathbf{U}^*</math>、<math>\mathbf{V}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>的列都构成[[标准正交基]]（orthonormal bases）。

由于<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>都是酉矩阵，它们的列分别形成一组[[标准正交向量]]（orthonormal vectors 模为1且彼此正交的向量），我们可以将其视为[[基向量]]（basis vectors 张成向量空间的一组线性无关向量）。矩阵<math>\mathbf{M}</math>把基向量<math>\mathbf{V}_i</math>映射到拉伸后的单位向量<math>\sigma_i\mathbf{U}_i</math>上。根据酉矩阵的定义，它们的共轭转置<math>\mathbf{U}^*</math>和<math>\mathbf{V}</math>也具有相同性质，只是失去了奇异值作为拉伸的几何解释。简言之，<math>\mathbf{U}</math>、<math>\mathbf{U}^*</math>、<math>\mathbf{V}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>的列都构成[[标准正交基]]（orthonormal bases 模为1且正交的基向量集合）。

当<math>\mathbf{M}</math>是[[半正定厄米矩阵]]（positive-semidefinite Hermitian matrix）时，<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}</math>都等同于用于对角化<math>\mathbf{M}</math>的酉矩阵。然而，如果<math>\mathbf{M}</math>不是半定定厄米矩阵但仍可对角化，那么其[[特征分解]]和奇异值分解就会有所不同。

当<math>\mathbf{M}</math>是[[半正定厄米矩阵]]（positive-semidefinite Hermitian matrix）时，<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}</math>都等同于用于对角化<math>\mathbf{M}</math>的酉矩阵。然而，如果<math>\mathbf{M}</math>不是半定定厄米矩阵但仍可对角化，那么其[[特征分解]]（矩阵分解为特征值与特征向量）和奇异值分解就会有所不同。

===与四个基本子空间的关系：===

===与四个基本子空间的关系：===