2,464
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第265行：
第265行： − +
→最近正交矩阵
===最近正交矩阵===
===最近正交矩阵===
我们可以利用方阵 <math>\mathbf{A}</math> 的SVD来找出最接近 <math>\mathbf{A}</math> 的[[正交矩阵]] <math>\mathbf{O}</math>。这里，我们用 <math>\mathbf{O} - \mathbf{A}</math> 的[[Frobenius]]范数来衡量接近程度。解是 <math>\mathbf{U}\mathbf{V}^*</math> 的乘积<ref>{{citation| url=https://people.wou.edu/~beavers/Talks/Willamette1106.pdf| title=The Singular Value Decomposition in Symmetric (Lowdin) Orthogonalization and Data Compression}}</ref>。这个结果在直觉上是合理的，因为正交矩阵会有分解 <math>\mathbf{U}\mathbf{I}\mathbf{V}^*</math>，其中 <math>\mathbf{I}</math> 是单位矩阵。所以如果 <math>\mathbf{A} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^*</math>，那么乘积 <math>\mathbf{A} = \mathbf{U}\mathbf{V}^*</math> 相当于用1替换所有奇异值。等价地，解就是极分解 <math>\mathbf{M} = \mathbf{R}\mathbf{P} = \mathbf{P}'\mathbf{R}</math> 中的酉矩阵 <math>\mathbf{R} = \mathbf{U}\mathbf{V}^*</math>，无论拉伸和旋转的顺序如何。
我们可以利用方阵 <math>\mathbf{A}</math> 的SVD来找出最接近 <math>\mathbf{A}</math> 的[[正交矩阵]]（列向量互相正交且单位长度） <math>\mathbf{O}</math>。这里，我们用 <math>\mathbf{O} - \mathbf{A}</math> 的[[Frobenius]]范数来衡量接近程度。解是 <math>\mathbf{U}\mathbf{V}^*</math> 的乘积<ref>{{citation| url=https://people.wou.edu/~beavers/Talks/Willamette1106.pdf| title=The Singular Value Decomposition in Symmetric (Lowdin) Orthogonalization and Data Compression}}</ref>。这个结果在直觉上是合理的，因为正交矩阵会有分解 <math>\mathbf{U}\mathbf{I}\mathbf{V}^*</math>，其中 <math>\mathbf{I}</math> 是单位矩阵。所以如果 <math>\mathbf{A} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^*</math>，那么乘积 <math>\mathbf{A} = \mathbf{U}\mathbf{V}^*</math> 相当于用1替换所有奇异值。等价地，解就是极分解 <math>\mathbf{M} = \mathbf{R}\mathbf{P} = \mathbf{P}'\mathbf{R}</math> 中的酉矩阵 <math>\mathbf{R} = \mathbf{U}\mathbf{V}^*</math>，无论拉伸和旋转的顺序如何。
在[[形状分析]]中，有一个类似的问题叫做[[正交普鲁克问题]]（orthogonal Procrustes problem），它涉及找到一个最接近将 <math>\mathbf{A}</math> 映射到 <math>\mathbf{B}</math> 的正交矩阵 <math>\mathbf{O}</math>。具体来说：
在[[形状分析]]中，有一个类似的问题叫做[[正交普鲁克问题]]（orthogonal Procrustes problem），它涉及找到一个最接近将 <math>\mathbf{A}</math> 映射到 <math>\mathbf{B}</math> 的正交矩阵 <math>\mathbf{O}</math>。具体来说：