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上图展示了从全局质心到boid个体轨迹的向下（格兰杰）因果关系，涵盖了线性和非线性的格兰杰因果关系测量。在每个条件下，对所有boid和所有25次运行取平均值。结果显示条件<math>H</math>下的向下因果关系显著高于条件<math>L</math>或<math>R</math>。箱线图显示了从全局<math>CM</math>到单个boid的线性和非线性格兰杰因果关系，分别计算了每个条件下所有25次运行中的每个boid（即每个箱线图包含250个值）。非显著的因果关系被设为零（名义阈值为0.01，经过Bonferroni校正为<math>10^{-5}</math> ）。所得分布为非正态分布，并使用Wilcoxon秩和检验比较各条件间的差异。对于线性和非线性分析，所有条件间的中位数成对比较差异均显著（<math> p < 10^{-3}</math> ）。每个箱线图显示下四分位数、中位数和上四分位数值；须线显示剩余数据的范围，‘<math>+</math>’号表示异常值。与涌现与向下因果关系之间的关联一致，向下因果关系的两种测量在条件<math>H</math>下明显高于条件<math>R</math>或<math>L</math>。尽管有这一结果，原则上弱涌现似乎可能在没有向下因果关系的情况下发生（当然，强涌现按定义需要向下因果关系）。拥有可分别应用的弱涌现和向下因果关系的测量方法，使得探索涌现和向下因果关系不同时发生的条件（如果存在）成为可能，从而潜在地细化和深化了涌现的概念。

上图展示了从全局质心到boid个体轨迹的向下（格兰杰）因果关系，涵盖了线性和非线性的格兰杰因果关系测量。在每个条件下，对所有boid和所有25次运行取平均值。结果显示条件<math>H</math>下的向下因果关系显著高于条件<math>L</math>或<math>R</math>。箱线图显示了从全局<math>CM</math>到单个boid的线性和非线性格兰杰因果关系，分别计算了每个条件下所有25次运行中的每个boid（即每个箱线图包含250个值）。非显著的因果关系被设为零（名义阈值为0.01，经过Bonferroni校正为<math>10^{-5}</math> ）。所得分布为非正态分布，并使用Wilcoxon秩和检验比较各条件间的差异。对于线性和非线性分析，所有条件间的中位数成对比较差异均显著（<math> p < 10^{-3}</math> ）。每个箱线图显示下四分位数、中位数和上四分位数值；须线显示剩余数据的范围，‘<math>+</math>’号表示异常值。实验结果与“涌现和向下因果关系之间存在关联”的假设相一致——向下因果关系的两种测量在条件<math>H</math>下明显高于条件<math>R</math>或<math>L</math>。尽管有这一结果，原则上弱涌现似乎可能在没有向下因果关系的情况下发生（当然，强涌现按定义需要向下因果关系）。拥有可分别应用的弱涌现和向下因果关系的测量方法，使得探索涌现和向下因果关系不同时发生的条件（如果存在）成为可能，从而潜在地细化和深化了涌现的概念。

== 格兰杰涌现方法的局限性 ==

== 格兰杰涌现方法的局限性 ==