更改

从图2的lumpable和non-lumpable例子中，我们看到，lumpable矩阵是可以找到一个lumped process，而这个lumped process是满足马尔可夫性，且对所有初始状态都保持一致的。

从图2的lumpable例子中，我们看到对于分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，lumpable的动力学TPM是可以找到一个lumped process，而这个lumped process是满足马尔可夫性，且对所有初始状态都保持一致的。

而non-lumpable的矩阵，我们或许可以给它强制定义一个lumped process的TPM，比如<math> P_1' = \left ( \begin{array}{cc}

在non-lumpable的矩阵，我们或许可以给它强制定义一个lumped process的TPM，比如<math> P_1' = \left ( \begin{array}{cc} 0.6 & 0.4 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>，但这个lumped process并不能对任何微观初始状态保持一致，只能对<math>\pi = \left [ \begin{array}{cc}1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>适用。而<math>\pi = \left [ \begin{array}{cc}0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>不适用这个lumped process。它适用的是<math> P_2' = \left ( \begin{array}{cc} 0.5 & 0.5 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>。这里的适用是指，<math> \pi </math>按照这个lumped process到达对应的宏观态的概率，跟按照微观动力学后聚类到达宏观态的概率是相同的。

0.6 & 0.4 \\

 

0.2 & 0.8 \\

我们看到，对于这个分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，马尔科夫矩阵有两个lumped process <math> P_1'</math>和<math> P_2'</math>，而它们各自只适用于一些微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math>，并不满足定义2中的条件，所以<math>A</math>对于这个TPM来说不是一个lumpable partition。事实上，这个TPM只存在一个lumpable partition，就是不做任何的分组，所以它无法按照lumpability的定义进行粗粒化。

\end{array} \right )</math>，但这个lumped process并不能对任何微观初始状态保持一致，只能对<math>s^{(t)} = \left [ \begin{array}{cc}1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>适用。

而<math>s^{(t)} = \left [ \begin{array}{cc}0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>不适用这个lumped process。它适用的是<math> P_2' = \left ( \begin{array}{cc}

0.5 & 0.5 \\

0.2 & 0.8 \\

\end{array} \right )</math>。

我们看到，对于这个state partition <math>A</math>，马尔科夫矩阵有两个lumped process <math> P_1'</math>和<math> P_2'</math>，而它们各自只适用于一些微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math>，并不满足定义2中的条件，所以<math>A</math>不是一个lumpable partition。