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→因果态的主要性质
'''性质2（因果态具有最小统计复杂度）'''：设<math>\hat{\mathcal{R}} </math>为满足性质1中不等式等号成立时划分得到的状态，则对于所有的<math>\hat{\mathcal{R}} </math>，都有<math>C_\mu(\hat{\mathcal{R}})\geq C_\mu(\mathcal{S}) </math>。可以理解为在相同预测能力的前提下，因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在划分得到的状态集合<math>\mathcal{R} </math>的所有类型中，它的统计复杂度最小，证明过程如下：
'''性质2（因果态具有最小统计复杂度）'''：设<math>\hat{\mathcal{R}} </math>为满足性质1中不等式等号成立时划分得到的状态，则对于所有的<math>\hat{\mathcal{R}} </math>，都有<math>C_\mu(\hat{\mathcal{R}})\geq C_\mu(\mathcal{S}) </math>。可以理解为在相同预测能力的前提下，因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在划分得到的状态集合<math>\mathcal{R} </math>的所有类型中，它的统计复杂度最小，证明过程如下：
对于任意的<math>\mathcal{R}</math>，若<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]= H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>，则存在函数<math>g </math>使得<math>\mathcal{S}=g(\mathcal{R}) </math>总是成立。
对于任意的<math>\mathcal{R}</math>，总存在确定的函数<math>g </math>使得<math>\mathcal{S}=g(\mathcal{R}) </math>成立。
根据熵的性质，对于任意确定的函数<math>f </math>，有<math>H[f(X)]\leqslant H[X] </math>成立。
所以<math>H[S]=H[g(\hat{\mathcal{R}})]\leqslant H[\hat{\mathcal{R}}] </math>
所以<math>H[S]=H[g(\hat{\mathcal{R}})]\leqslant H[\hat{\mathcal{R}}] </math>
根据统计复杂度的计算方法可知，<math>C_\mu(\hat{\mathcal{R}})=H[\hat{\mathcal{R}}] </math>。
根据统计复杂度的计算方法可知，<math>C_\mu(\hat{\mathcal{R}})=H[\hat{\mathcal{R}}] </math>。
所以<math>C_\mu(\hat{\mathcal{R}})\geq C_\mu(\mathcal{S}) </math>
所以<math>C_\mu(\hat{\mathcal{R}})\geq C_\mu(\mathcal{S}) </math>。
'''性质3（因果态具有最小随机性）'''：设<math>\hat{\mathcal{R}} </math>和<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>为满足性质1中不等式等号成立的状态，则对于所有的<math>\hat{\mathcal{R}} </math>和<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>，都有<math>H[\hat{\mathcal{R}}^{\prime}|\hat{\mathcal{R}}]\geq H[\mathcal{S}^{\prime}|\mathcal{S}] </math>，其中<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>和<math>\mathcal{S}^{\prime} </math>分别是该过程的下一时刻状态和下一时刻因果态。可以理解为在相同预测能力的前提下，因果态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]在划分得到的状态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{R} }[/math]的所有类型中，它的随机性最小。
'''性质3（因果态具有最小随机性）'''：设<math>\hat{\mathcal{R}} </math>和<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>为满足性质1中不等式等号成立的状态，则对于所有的<math>\hat{\mathcal{R}} </math>和<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>，都有<math>H[\hat{\mathcal{R}}^{\prime}|\hat{\mathcal{R}}]\geq H[\mathcal{S}^{\prime}|\mathcal{S}] </math>，其中<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>和<math>\mathcal{S}^{\prime} </math>分别是该过程的下一时刻状态和下一时刻因果态。可以理解为在相同预测能力的前提下，因果态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]在划分得到的状态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{R} }[/math]的所有类型中，它的随机性最小。