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第1行： − =Lumpability= − [[Lumpability]]是一种描述状态分类的衡量，笔者暂时还没找到一个正式的中文翻译。+ + + + + + − − ===最初定义=== 第77行：
第79行： − ===lumpable partition的充分必要条件===+ 第142行：
第144行： + + 第239行：
第243行： − 我们在粗粒化的部分提到了，马尔科夫链的粗粒化不仅要对状态空间做，也要对转移矩阵和概率空间做。+ − 这三个部分可以同时做，也可以看作为：先对状态空间做，再对转移矩阵和概率空间做；即先对状态做分组，然后再获取对应的粗粒化后的转移矩阵。+ − 我们也提到过对状态空间做粗粒化有Hard Partitioning和Soft Partitioning两种。Soft Partitioning可以看作把微观状态打散重构成了一些宏观状态，而Hard Partitioning则是更严格的，把若干个微观状态分成一个组。+ − 而Lumpability就是一个指标，用来评价‘对于某一种Hard Partitioning的微观状态分组分案，是否对微观状态转移矩阵lumpable’。 − + − 不管状态空间按照哪一个Hard Partitioning方案做分类，它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案（公式(1)和(2)）<ref name=":1" />，其中有些分组满足交换律，有些则不满足。 第258行：
第260行： − 所以，一个满足lumpability的良定义的粗粒化方案应该在原来的两个条件下，再多加两个条件：+ 第271行：
第273行： − − 第360行：
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Lumpability是一种描述状态分类的衡量，笔者暂时还没找到一个正式的中文翻译。
这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的Finite Markov Chains<ref name=":3">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。
这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的Finite Markov Chains<ref name=":3">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。
==最初定义==
为了严谨的介绍这一定义，我们会详细翻译文章中的部分。不感兴趣的读者可以跳到更简洁直观的‘lumpable partition的充分必要条件'部分。
为了严谨的介绍这一定义，我们会详细翻译文章中的部分。不感兴趣的读者可以跳到更简洁直观的‘lumpable partition的充分必要条件'部分。
首先定义<math>s^{(t)}</math>表示系统在<math>t</math>时刻处于各微观状态的概率，微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>。
首先定义<math>s^{(t)}</math>表示系统在<math>t</math>时刻处于各微观状态的概率，微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>。
==lumpable partition的充分必要条件==
通过上面的例子，我们可以对lumpable partition有一些直观的理解。我们可以留意到，在lumpable partition中，有两个分组，所以有四个框。每一个框里，每一列相加的和都是一样的，比如左上角的框中，<math>0.3 + 0.3 = 0.2 + 0.4</math>。这就是lumpable partition更通俗的解释，在某些文献中，并不会使用上面提及的定义，而是直接使用这个通俗版的解释。<ref name=":3" />中作者指出，这两者之间是存在充分必要条件关系的。
通过上面的例子，我们可以对lumpable partition有一些直观的理解。我们可以留意到，在lumpable partition中，有两个分组，所以有四个框。每一个框里，每一列相加的和都是一样的，比如左上角的框中，<math>0.3 + 0.3 = 0.2 + 0.4</math>。这就是lumpable partition更通俗的解释，在某些文献中，并不会使用上面提及的定义，而是直接使用这个通俗版的解释。<ref name=":3" />中作者指出，这两者之间是存在充分必要条件关系的。
所以，lumpability并不是一个马尔科夫链的特质，而是对马尔科夫链的某个state partition的特质。我们不能直接说某个马尔科夫链是lumpable或non-lumpable，但是我们可以说，对于某个马尔科夫链的某几个状态partition是lumpable或non-lumpable。
所以，lumpability并不是一个马尔科夫链的特质，而是对马尔科夫链的某个state partition的特质。我们不能直接说某个马尔科夫链是lumpable或non-lumpable，但是我们可以说，对于某个马尔科夫链的某几个状态partition是lumpable或non-lumpable。
==Lumpability正例和反例==
==Lumpability正例和反例==
==Lumpability和粗粒化==
==Lumpability和粗粒化==
马尔科夫链的粗粒化不仅要对状态空间做，也要对转移矩阵和概率空间做。这三个部分可以同时做，也可以看作为：先对状态空间做，再对转移矩阵和概率空间做；即先对状态做分组，然后再获取对应的粗粒化后的转移矩阵。
对状态空间做粗粒化有硬划分和软划分两种。软划分可以看作把微观状态打散重构成了一些宏观状态，而硬划分则是更严格的，把若干个微观状态分成一个组。
而Lumpability就是一个指标，用来评价‘对于某一种硬划分的微观状态分组分案，是否对微观状态转移矩阵lumpable’。
我们把状态空间按照任意一个硬划分方案做分类，它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案（公式(1)和(2)）<ref name=":1" />，其中有些分组满足交换律，有些则不满足。
其中的某些分组方案lumpable，也有某些分组方案non-lumpable。
其中的某些分组方案lumpable，也有某些分组方案non-lumpable。
所以，一个满足lumpability的良定义的粗粒化方案应该有四个条件：
#粗粒化后的<math>S'</math>和<math>T'</math>要符合马尔科夫链定义；
#粗粒化后的<math>S'</math>和<math>T'</math>要符合马尔科夫链定义；
这一小节里我们讨论一下，对一个马尔科夫链的'''lumpable partition''' 与 HOM（Higher-order Macronodes，详情请参考[[复杂网络中的因果涌现]]），和Consistency之间的关联。
这一小节里我们讨论一下，对一个马尔科夫链的'''lumpable partition''' 与 HOM（Higher-order Macronodes，详情请参考[[复杂网络中的因果涌现]]），和Consistency之间的关联。
Higher-order Macronodes，是由Jian Xu<ref>J. Xu, T. L. Wickramarathne, and N. V. Chawla， 'Representing higher-order dependencies in networks,' Science Advances, vol. 2, Article ID el600028, 2016.a</ref>提出，根据给定的微观马尔科夫链和节点的聚类方案，得出一个和微观转移矩阵保持一致的宏观转移矩阵的方法。
Higher-order Macronodes，是由Jian Xu<ref>J. Xu, T. L. Wickramarathne, and N. V. Chawla， 'Representing higher-order dependencies in networks,' Science Advances, vol. 2, Article ID el600028, 2016.a</ref>提出，根据给定的微观马尔科夫链和节点的聚类方案，得出一个和微观转移矩阵保持一致的宏观转移矩阵的方法。
回到上面lumpable partition 等于HOM的推断，我们就能得出，'''根据lumpability而做的粗粒化，构建的宏观网络和微观网络也是保持一致的。'''
回到上面lumpable partition 等于HOM的推断，我们就能得出，'''根据lumpability而做的粗粒化，构建的宏观网络和微观网络也是保持一致的。'''