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所谓的SVD定理的几何含义可以概括为：对于每个线性映射<math>T:K^n\to K^m</math>，我们能找到<math>K^n</math>和<math>K^m</math>的[[标准正交基]]，使<math>T</math>将<math>K^n</math>的第<math>i</math>个基向量映射到<math>K^m</math>的第<math>i</math>个基向量的非负倍数，并将剩余基向量映射到零。在这些基下，映射<math>T</math>表现为一个具有非负实数对角元素的对角矩阵。

所谓的SVD定理的几何含义可以概括为：对于每个线性映射<math>T:K^n\to K^m</math>，我们能找到<math>K^n</math>和<math>K^m</math>的[[标准正交基]]，使<math>T</math>将<math>K^n</math>的第<math>i</math>个基向量映射到<math>K^m</math>的第<math>i</math>个基向量的非负倍数，并将剩余基向量映射到零。在这些基下，映射<math>T</math>表现为一个具有非负实数对角元素的对角矩阵。

为了更直观地理解奇异值和SVD分解（至少在实向量空间中），我们可以考虑<math>\mathbf{R}^n</math>中半径为1的球面<math>S</math>。线性映射<math>T</math>将这个球面映射到<math>\mathbf{R}^m</math>中的一个椭球体。非零奇异值就是这个椭球体[[半轴]]（semi-axes）的长度。特别地，当<math>n=m</math>且所有奇异值都不同且非零时，线性映射<math>T</math>的SVD可以分解为三个连续步骤：

为了更直观地理解奇异值和SVD分解（至少在实向量空间中），我们可以考虑<math>\mathbf{R}^n</math>中半径为1的球面<math>S</math>。线性映射<math>T</math>将这个球面映射到<math>\mathbf{R}^m</math>中的一个椭球体。非零奇异值就是这个椭球体半轴（semi-axes）的长度。特别地，当<math>n=m</math>且所有奇异值都不同且非零时，线性映射<math>T</math>的SVD可以分解为三个连续步骤：

1. 考虑椭球体<math>T(S)</math>及其轴，然后找出<math>\mathbf{R}^n</math>中被<math>T</math>映射到这些轴上的方向。这些方向恰好相互正交。首先应用等距变换<math>\mathbf{V}^*</math>，将这些方向映射到<math>\mathbf{R}^n</math>的坐标轴。

1. 考虑椭球体<math>T(S)</math>及其轴，然后找出<math>\mathbf{R}^n</math>中被<math>T</math>映射到这些轴上的方向。这些方向恰好相互正交。首先应用等距变换<math>\mathbf{V}^*</math>，将这些方向映射到<math>\mathbf{R}^n</math>的坐标轴。