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===Weak Lumpability===

===Weak Lumpability===

Weak lumpability<ref name=":1" />是指lumped process不对所有的初始状态满足，而仅对某些初始状态满足。

Weak lumpability<ref name=":3" />是指lumped process不对所有的初始状态满足，而仅对某些初始状态满足。

一个简单的例子是，某个状态<math>s_i</math>到<math>s_j</math>不联通的，而lumped process适用于<math>s_i</math>但不适用于<math>s_j</math>。所以，当初始状态等于<math>s_i</math>时，因为永远不会到达<math>s_j</math>，所以lumped process会一直适用。

一个简单的例子是，某个状态<math>s_i</math>到<math>s_j</math>不联通的，而lumped process适用于<math>s_i</math>但不适用于<math>s_j</math>。所以，当初始状态等于<math>s_i</math>时，因为永远不会到达<math>s_j</math>，所以lumped process会一直适用。

===Quasi Lumpability===

===Quasi Lumpability===

我们可以看到，strong lumpability这种对于马尔科夫矩阵的分块性是一个很严格的要求。而我们在现实情况中，很难会找到strongly lumpable的矩阵，稍微加了一点扰动就不行了。如果我们考虑了这种扰动的情况，我们就可以定义不是lumpable但非常接近lumpable的情况：quasi<ref name=":5">Franceschinis, G., & Muntz, R. R. (1994). Bounds for quasi-lumpable Markov chains. Performance Evaluation, 20(1-3), 223-243.</ref>

我们可以看到，strong lumpability这种对于马尔科夫矩阵的分块性是一个很严格的要求。而我们在现实情况中，很难会找到strongly lumpable的矩阵，稍微加了一点扰动就不行了。如果我们考虑了这种扰动的情况，我们就可以定义不是lumpable但非常接近lumpable的情况：quasi

如果一个 <math>P</math>可以被分解为<math>P = P^- + P^{\epsilon}</math>，其中<math>P^-</math>是一个lumpable的矩阵，而<math>P^{\epsilon}</math>中的每个元素都小于<math>\epsilon</math>，<math>P</math>就是一个<math>\epsilon</math>-quasi-lumpable的矩阵。

如果一个 <math>P</math>可以被分解为<math>P = P^- + P^{\epsilon}</math>，其中<math>P^-</math>是一个lumpable的矩阵，而<math>P^{\epsilon}</math>中的每个元素都小于<math>\epsilon</math>，<math>P</math>就是一个<math>\epsilon</math>-quasi-lumpable的矩阵。