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Lumpability (查看源代码)

2025年1月15日 (三) 01:53的版本

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第22行：第22行：

对于一个任意状态划分（state partition） <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，我们也可以把其理解为宏观的状态空间。<math>S</math> 和 <math>A</math> 之间的硬性划分映射关系<math>\Phi:S \rightarrow A</math>为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>。这种映射关系是指：<math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>都包括了若干个<math>s_i</math>；<math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>不会同时属于<math>A_i</math>和<math>A_j</math>；<math>S</math>中的每个元素必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。

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[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|500x500像素|图2：矩阵粗粒化示例]]在这里，我们考虑的是线性的马尔科夫过程的投影，所以<math>\Phi</math>是一个<math>n \times n</math>的投影矩阵。因此，我们可以定义宏观状态<math>A^{(t)} = s^{(t)} \Phi</math>为微观状态<math>s^{(t)}</math>在宏观空间上的投影。

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[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|500x500像素|图2：矩阵粗粒化示例]]在这里，我们考虑的是线性的马尔科夫过程的投影，所以<math>\Phi</math>是一个<math>n \times n</math>的投影矩阵。因此，我们可以定义宏观状态<math>A^{(t)} = \Phi s^{(t)} (\Phi </math>为微观状态<math>s^{(t)}</math>在宏观空间上的投影。

对于任意状态划分 <math>A</math>，我们能够定义一个'''简化过程（lumped process）'''，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>通过投影矩阵<math>\Phi</math>投影到<math>A</math>的空间上。

第30行：第30行：

'''''定义1'''''：'''简化过程 lumped process'''

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'''简化过程（lumped ~~process），是微观轨迹在宏观空间上的投影。这种投影可以写作下列公式：~~'''

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'''简化过程（lumped process），是微观轨迹在宏观空间上的投影。投影后的轨迹<math>A^{(t)}</math>的状态转移概率可以写作下列公式：'''

{{NumBlk|:|

第58行：第58行：

回想一下图（1）中微观状态->微观动力学->粗粒化->宏观状态的这一条路径。我们现在有了微观动力学<math>\{s^{(0)}, ... , s^{(t-1)} \}</math>，也有了微观到宏观的粗粒化过程<math>A</math>。所以式子（3）描述的简化过程正是先走微观动力学再聚合的这条路径的<math>A^{(t)}</math>。它描述了我们从任意一个初始状态<math>s^{(0)}</math>（或状态分布<math>\pi</math>），一直走微观动力学，然后在<math>t</math>时刻做粗粒化得到<math>A^{(t)}</math>的过程。

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需要注意的是，虽然任意一个状态划分 <math>A</math>都能走这样的路径，并形成简化过程，但不是所有的这些简化过程都是有意义且满足交换律的。他们不一定能够得出一个宏观动力学来描述式子（3）中微观状态的宏观投影，也不一定会拥有马尔科夫性。

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需要注意的是，虽然任意一个状态划分 <math>A</math>都能走这样的路径，并形成简化过程，'''但不是所有的这些简化过程都是有意义且满足交换律的。'''他们不一定能够得出一个宏观动力学来描述式子（3）中微观状态的宏观投影，也'''不一定会拥有马尔科夫性。'''

我们暂且先不考虑‘失败’的情况，先关注‘成功’的部分。书中接下来就定义了什么叫做成块的划分：

Liangjh

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