更改

Pr_{\pi}[s^{(0)} \in A_i]

Pr_{\pi}[s^{(0)} \in A_i]

</math>

</math>

|{{EquationRef|3.1}}}}

|{{EquationRef|1.1}}}}

{{NumBlk|:|

{{NumBlk|:|

<math>

<math>

Pr_{\pi}[s^{(1)} \in A_j | s^{(0)} \in A_i]

Pr_{\pi}[s^{(1)} \in A_j | s^{(0)} \in A_i]

</math>

</math>

|{{EquationRef|3.2}}}}

|{{EquationRef|1.2}}}}

{{NumBlk|:|

{{NumBlk|:|

<math>

<math>

Pr_{\pi}[s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k, ... ,  s^{(1)} \in A_j,  s^{(0)} \in A_i]

Pr_{\pi}[s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k, ... ,  s^{(1)} \in A_j,  s^{(0)} \in A_i]

</math>

</math>

|{{EquationRef|3.3}}}}

|{{EquationRef|1.3}}}}

'''其中，<math> \pi </math>为初始微观状态。'''

'''其中，<math> \pi </math>为初始微观状态。'''

这些公式描述了：

这些公式描述了：

# 式子3.1：系统在<math>t=0</math>的微观状态<math>s^{(0)}</math>属于某个宏观状态<math>A_i</math>的概率；

# 式子1.1：系统在<math>t=0</math>的微观状态<math>s^{(0)}</math>属于某个宏观状态<math>A_i</math>的概率；

# 式子3.2：已知在<math>t=0</math>的微观状态<math>s^{(0)}</math>属于某个宏观状态<math>A_i</math>，那么在时间<math>t=1</math>的微观状态<math>s^{(1)}</math>属于某个宏观状态<math>A_j</math>的概率；

# 式子1.2：已知在<math>t=0</math>的微观状态<math>s^{(0)}</math>属于某个宏观状态<math>A_i</math>，那么在时间<math>t=1</math>的微观状态<math>s^{(1)}</math>属于某个宏观状态<math>A_j</math>的概率；

# 式子3.3：已知历史微观状态<math>\{s^{(0)}, ... , s^{(t-1)} \}</math>对应的宏观状态，那么在时间<math>t</math>的微观状态<math>s^{(t)}</math>属于某个宏观状态<math>A_m</math>的概率；

# 式子1.3：已知历史微观状态<math>\{s^{(0)}, ... , s^{(t-1)} \}</math>对应的宏观状态，那么在时间<math>t</math>的微观状态<math>s^{(t)}</math>属于某个宏观状态<math>A_m</math>的概率；

我们看到从<math>s^{(t)}</math>到<math>A^{(t+1)}</math>存在微观状态->微观动力学->粗粒化->宏观状态 的这一条路径。我们现在有了微观动力学<math>\{s^{(0)}, ... , s^{(t-1)} \}</math>，也有了微观到宏观的粗粒化过程<math>A</math>。所以式子（3）描述的简化过程正是先走微观动力学再聚合的这条路径的<math>A^{(t)}</math>。它描述了我们从任意一个初始状态<math>s^{(0)}</math>（或状态分布<math>\pi</math>），一直走微观动力学，然后在<math>t</math>时刻做粗粒化得到<math>A^{(t)}</math>的过程。

我们看到从<math>s^{(t)}</math>到<math>A^{(t+1)}</math>存在微观状态->微观动力学->粗粒化->宏观状态 的这一条路径。我们现在有了微观动力学<math>\{s^{(0)}, ... , s^{(t-1)} \}</math>，也有了微观到宏观的粗粒化过程<math>A</math>。所以式子（1）描述的简化过程正是先走微观动力学再聚合的这条路径的<math>A^{(t)}</math>。它描述了我们从任意一个初始状态<math>s^{(0)}</math>（或状态分布<math>\pi</math>），一直走微观动力学，然后在<math>t</math>时刻做粗粒化得到<math>A^{(t)}</math>的过程。

需要注意的是，虽然任意一个状态划分 <math>A</math>都能走这样的路径，并形成简化过程，'''但不是所有的这些简化过程都符合实际意义的。'''他们不一定能够得出一个宏观动力学来描述式子（3）中微观状态的宏观投影，例如图（3）中的第二个例子，也'''不一定会拥有马尔科夫性。'''

需要注意的是，虽然任意一个状态划分 <math>A</math>都能走这样的路径，并形成简化过程，'''但不是所有的这些简化过程都符合实际意义的。'''他们不一定能够得出一个宏观动力学来描述式子（1）中微观状态的宏观投影，例如图（3）中的第二个例子，也'''不一定会拥有马尔科夫性。'''

我们暂且先不考虑‘失败’的情况，先关注‘成功’的部分。书中接下来就定义了什么叫做成块的划分：

我们暂且先不考虑‘失败’的情况，先关注‘成功’的部分。书中接下来就定义了什么叫做成块的划分：

'''对于一个给定的状态 <math>A</math>，当下列两个条件都满足时，<math>A</math>是一个成块划分（lumpable partition）。'''

'''对于一个给定的状态 <math>A</math>，当下列两个条件都满足时，<math>A</math>是一个成块划分（lumpable partition）。'''

# '''定义1中式子(3)描述的简化过程具有马尔科夫性，即式子(3.3)可写成<math>Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k, ... ,  s^{(1)} \in A_j,  s^{(0)} \in A_i \right ] = Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k \right ]</math>'''

# '''定义1中式子(1)描述的简化过程具有马尔科夫性，即式子(1.3)可写成<math>Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k, ... ,  s^{(1)} \in A_j,  s^{(0)} \in A_i \right ] = Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k \right ]</math>'''

# '''转移概率(transition probability)，即式子(3.3)，对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致，从而我们能够得出宏观的概率转移矩阵<math>P' = \Phi^T P (\Phi^T)^{-1} = \Phi^T P \Phi^{\dagger} = \Phi^T P \Phi (\Phi^T \Phi)^{-1}</math>'''

# '''转移概率(transition probability)，即式子(1.3)，对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致，从而我们能够得出宏观的概率转移矩阵<math>P' = \Phi^T P (\Phi^T)^{-1} = \Phi^T P \Phi^{\dagger} = \Phi^T P \Phi (\Phi^T \Phi)^{-1}</math>'''

[[文件:Lumpable和non-lumpable的例子.png|缩略图|图3：对成块的和不成块的矩阵做粗粒化|替代=|600x600像素]]不满足上述两个条件的，都不被定义为成块的划分。也就是说，不是所有的简化过程都是成块的，即使他们的命名方式（lumpable process v.s. lumped process）相似。

[[文件:Lumpable和non-lumpable的例子.png|缩略图|图3：对成块的和不成块的矩阵做粗粒化|替代=|600x600像素]]不满足上述两个条件的，都不被定义为成块的划分。也就是说，不是所有的简化过程都是成块的，即使他们的命名方式（lumpable process v.s. lumped process）相似。