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→基于时间序列的因果效应度量
== 基于时间序列的因果效应度量 ==
== 基于时间序列的因果效应度量 ==
现代数据丰富但干预实验受限，无模型的数据驱动度量因此在多领域得到应用，它们多是根据维纳基于时间序列数据处理的思想：
在当今时代，数据易于获取且数量庞大。此外，为了推断某些类型的因果关系，进行干预实验可能会很困难或根本不可能。因此，越来越多的研究正在使用基于时间序列数据驱动的因果效应度量方法。它们都是根据诺伯特·维纳的思想，该思想定义了一种从时间序列数据估计因果效应的简单而优雅的方法。根据维纳的说法，“如果一个时间序列<math>X</math>导致一个时间序列<math>Y</math>，那么<math>X</math>的过去值应该包含有助于预测<math>Y</math>的信息，且这些信息超出了仅包含在<math>Y</math>过去值中的信息”。
下面的三种方法都是基于此思想，下面阐述每种方法背后的思想。如果包含<math>X</math>的过去值：
=== 动态复杂性 ===
<math>Y</math>的预测能力提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的格兰杰因果关系。
<math>Y</math>的不确定性降低，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的传递熵。
<math>Y</math>的动态复杂性降低/提高，那么从<math>X</math>到<math>Y</math>存在非零的压缩复杂性因果关系。
=== 格兰杰因果（GC） ===
格兰杰因果是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳方法的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系[20]。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：
<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>，
<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>，其中<math>t</math>表示任何时间实例，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来预测：
<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>（4）。这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（2）表示的模型比方程（3）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用自回归模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用于不同学科的数据驱动因果关系估计。
=== 转移熵（TE） ===
转移熵量化过程<math>J</math>对系统<math>I</math>的转移概率的影响[18]。它衡量假设变量<math>I</math>的当前状态<math>i_{n + 1}</math>与变量<math>J</math>的过去状态<math>j_{n}^{(l)}</math>独立（即假设其分布为<math>q = p(i_{n + 1}|i_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(i_{n + 1}|i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)})</math>）时需要付出的信息论比特的额外代价。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>I</math>和<math>J</math>的过去状态的数量，过程<math>I</math>的任何状态<math>i_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，
<math>TE_{J \to I}=\sum_{i, j}(p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)})\log\frac{p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)})}{p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)})})</math>。如果<math>I</math>和<math>J</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)}) = p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)})</math>，因此上述数量将为零。直观地说，<math>TE_{J \to I}</math>捕捉了从过程<math>J</math>到过程<math>I</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{J \to I} \neq TE_{I \to J}</math>。
=== 压缩复杂性因果（CCC） ===
像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“效果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯第一层级的关联因果关系（图3）。然而，很多时候，原因和效果可能在测量块或单个测量中同时存在。这可能是过程动态的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动态的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。对于一对时间序列<math>X</math>和<math>Y</math>，假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，关联因果关系及其局限性如图4所示。
压缩复杂性因果关系（CCC）是最近提出的一种因果关系度量，它不做关联因果关系度量（如GC和TE）所做的可分离性假设。为了确定<math>X</math>对<math>Y</math>的因果影响，CCC捕获当引入<math>X</math>的过去信息时<math>Y</math>的“动态复杂性”如何变化。CCC通过插入<math>X</math>的块并将其与<math>Y</math>的适当块拼接来对<math>Y</math>进行干预。当无法对实验设置进行干预时，这是对数据能做的最好操作[19]。因此，CCC属于因果关系之梯的第二层级（干预因果关系）。
在CCC的情况下，时间序列数据块的复杂性是基于压缩努力（ETC）度量来计算的[24]。为了从<math>X</math>估计CCC到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其自身过去<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，
<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>，
<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>，
<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>（8）。
在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：
<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>。
== 基于有效信息的因果效应度量 ==
== 基于有效信息的因果效应度量 ==