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=== 格兰杰因果（GC） ===

=== 格兰杰因果（GC） ===

格兰杰因果是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳方法的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系[20]。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：

格兰杰因果是一种基于预测的因果关系统计概念。这是第一个直接基于维纳方法的方法，因此它通常被称为维纳 - 格兰杰因果关系[20]。要检查一个过程<math>X</math>是否格兰杰导致另一个过程<math>Y</math>，需要为<math>Y</math>建模两个单独的自回归过程以供考虑：

<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>，

 

<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>，其中<math>t</math>表示任何时间实例，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来预测：

<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(a_{\tau}Y(t - \tau))+\sum_{\tau = 1}^{\infty}(c_{\tau}X(t - \tau))+\varepsilon_{c}</math>（1）

<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>（4）。这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（2）表示的模型比方程（3）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用自回归模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用于不同学科的数据驱动因果关系估计。

 

<math>Y(t)=\sum_{\tau = 1}^{\infty}(b_{\tau}Y(t - \tau))+\varepsilon</math>（2）

 

其中<math>t</math>表示任何时间实例，<math>a_{\tau}</math>、<math>b_{\tau}</math>、<math>c_{\tau}</math>是滞后<math>\tau</math>时的系数，<math>\varepsilon_{c}</math>、<math>\varepsilon</math>是两个模型中的误差项。假设<math>X</math>和<math>Y</math>是协方差平稳的，<math>X</math>是否导致<math>Y</math>可以通过预测误差方差的对数比来预测：

 

<math>F_{X \to Y}=\ln\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{c}}</math>（3）

 

这个度量被称为<math>F</math> - 统计量。如果由方程（1）表示的模型比方程（2）更适合<math>Y(t)</math>，那么<math>var(\varepsilon_{c})<var(\varepsilon)</math>且<math>F_{X \to Y}</math>将大于0，这表明<math>X</math>格兰杰导致<math>Y</math>。尽管这种因果关系概念使用自回归模型，但由于模型的通用性质对潜在机制做了最小假设，因此该方法广泛用于不同学科的数据驱动因果效应度量。

=== 转移熵（TE） ===

=== 转移熵（TE） ===

转移熵量化过程<math>J</math>对系统<math>I</math>的转移概率的影响[18]。它衡量假设变量<math>I</math>的当前状态<math>i_{n + 1}</math>与变量<math>J</math>的过去状态<math>j_{n}^{(l)}</math>独立（即假设其分布为<math>q = p(i_{n + 1}|i_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(i_{n + 1}|i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)})</math>）时需要付出的信息论比特的额外代价。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>I</math>和<math>J</math>的过去状态的数量，过程<math>I</math>的任何状态<math>i_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，

转移熵量化过程<math>J</math>对系统<math>I</math>的转移概率的影响[18]。它衡量假设变量<math>I</math>的当前状态<math>i_{n + 1}</math>与变量<math>J</math>的过去状态<math>j_{n}^{(l)}</math>独立（即假设其分布为<math>q = p(i_{n + 1}|i_{n}^{(k)})</math>而不是<math>p(i_{n + 1}|i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)})</math>）时需要付出的信息论比特的额外代价。这里<math>k</math>和<math>l</math>分别表示<math>I</math>和<math>J</math>的过去状态的数量，过程<math>I</math>的任何状态<math>i_{n + 1}</math>的概率分布依赖于这些过去状态。数学上，

<math>TE_{J \to I}=\sum_{i, j}(p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)})\log\frac{p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)})}{p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)})})</math>。如果<math>I</math>和<math>J</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)}) = p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)})</math>，因此上述数量将为零。直观地说，<math>TE_{J \to I}</math>捕捉了从过程<math>J</math>到过程<math>I</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{J \to I} \neq TE_{I \to J}</math>。

 

<math>TE_{J \to I}=\sum_{i, j}(p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)})\log\frac{p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)})}{p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)})})</math>（4）

 

如果<math>I</math>和<math>J</math>是独立过程，那么对于所有<math>n</math>、<math>k</math>、<math>l</math>，<math>p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)}, j_{n}^{(l)}) = p(i_{n + 1}, i_{n}^{(k)})</math>，因此上述数量将为零。直观地说，<math>TE_{J \to I}</math>捕捉了从过程<math>J</math>到过程<math>I</math>的信息流。一般来说，<math>TE_{J \to I} \neq TE_{I \to J}</math>。

=== 压缩复杂性因果（CCC） ===

=== 压缩复杂性因果（CCC） ===

像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“效果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯第一层级的关联因果关系（图3）。然而，很多时候，原因和效果可能在测量块或单个测量中同时存在。这可能是过程动态的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动态的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。对于一对时间序列<math>X</math>和<math>Y</math>，假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，关联因果关系及其局限性如图4所示。

像GC和TE这样的度量假设时间序列数据中“原因”和“效果”样本具有内在的可分离性，因此只能估计因果关系之梯第一层级的关联因果关系（图3）。然而，很多时候，原因和效果可能在测量块或单个测量中同时存在。这可能是过程动态的固有性质，或者是由于采样尺度与因果动态的时空尺度不同（例如，在测量采集期间）导致的结果。在这种情况下，关联因果关系度量是不合适的。对于一对时间序列<math>X</math>和<math>Y</math>，假设<math>X</math>导致<math>Y</math>，关联因果关系及其局限性如图4所示。

在CCC的情况下，时间序列数据块的复杂性是基于压缩努力（ETC）度量来计算的[24]。为了从<math>X</math>估计CCC到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其自身过去<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，

在CCC的情况下，时间序列数据块的复杂性是基于压缩努力（ETC）度量来计算的[24]。为了从<math>X</math>估计CCC到<math>Y</math>，我们计算<math>CC(\Delta Y|Y_{past})</math>——时间序列<math>Y</math>的当前数据窗口<math>\Delta Y</math>在其自身过去<math>Y_{past}</math>条件下的动态复杂性。将其与<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>——<math>\Delta Y</math>在<math>Y</math>和<math>X</math>的过去<math>(Y_{past}, X_{past})</math>共同条件下的动态复杂性进行比较。数学上，

<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>，

 

<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>，

<math>CC(\Delta Y|Y_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past})</math>（5）

<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>（8）。

 

<math>CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past}) = ETC(Y_{past}+\Delta Y, X_{past}+\Delta Y)-ETC(Y_{past}, X_{past})</math>（6）

 

<math>CCC_{X_{past} \to \Delta Y}=CC(\Delta Y|Y_{past})-CC(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>（7）

在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：

在整个时间序列长度上，随着窗口<math>\Delta Y</math>以步长<math>\delta</math>滑动，从<math>Y</math>到<math>X</math>的平均CCC估计为：

<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>。

 

<math>CCC_{X \to Y}=\overline{CCC}_{X_{past} \to \Delta Y}=\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past})-\overline{CC}(\Delta Y|Y_{past}, X_{past})</math>（8）

== 基于有效信息的因果效应度量 ==

== 基于有效信息的因果效应度量 ==