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不禁会提出一个疑问，是否是所有的转移矩阵都具有极限？下面考察一个简单的两状态马尔科夫链，

不禁会提出一个疑问，是否是所有的转移矩阵都具有极限？下面考察一个简单的两状态马尔科夫链，

<math>P=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}</math>。

<math>P=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}</math>。

计算<math>n</math>步转移概率矩阵

计算<math>n</math>步转移概率矩阵

<math>

<math>

\begin{aligned}

\begin{aligned}

P(n)=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix},\ \ n=2k,\ k\in\mathcal{Z}\\

P(n)&=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix},\ \ n=2k,\ k\in\mathcal{Z},\\

P(n)=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\ \ n=2k+1,\ k\in\mathcal{Z}.

P(n)&=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\ \ n=2k+1,\ k\in\mathcal{Z}.

\end{aligned}

\end{aligned}

</math>

</math>

根据<math>n</math>步转移概率矩阵可知，即四个转移概率均不存在极限。这个马尔科夫链存在着一个特性——<math>P_{ii}(n)</math>的序列<math>0,1,0,1,\ldots</math>数值大于0的步数为2，4，6，8等偶数，它们的公因子为2。若将使得转移概率<math>P_{ii}(n)>0</math>的转移步数<math>n</math>所组成的集合记为<math>A_i=\{n:n\geq1,P_{ii}(n)>0\}</math>。若<math>A_i</math>非空，则称其最大公约数为状态<math>i</math>的周期，记为<math>d_i</math>。若<math>d_i>1</math>，称<math>i</math>是'''周期的'''；若<math>d_i=1</math>，称<math>i</math>是'''非周期的'''。在上节三状态的马尔科夫链中，由于<math>P_{33}=1>P_{22}=0.2>0</math>，那么<math>A_{2}=A_{3}=\{1,2,\ldots\}</math>，所以它们都是非周期的。对于状态1，其与状态2互通且状态2一步可达自身，那么<math>A_{1}=\{2,3,\ldots\}</math>，所以状态1也是非周期的。

 

这个马尔科夫链存在着一个特性——<math>P_{ii}(n)</math>序列<math>0,1,0,1,\ldots</math>中数值大于0对应的转移步数为2，4，6，8等偶数，它们的公因子为2。将使得转移概率<math>P_{ii}(n)>0</math>的转移步数<math>n</math>所组成的集合记为<math>A_i=\{n:n\geq1,P_{ii}(n)>0\}</math>。若<math>A_i</math>非空，则称其最大公约数为状态<math>i</math>的周期，记为<math>d_i</math>。若<math>d_i>1</math>，称<math>i</math>是'''周期的'''；若<math>d_i=1</math>，称<math>i</math>是'''非周期的'''。在上节三状态的马尔科夫链中，由于<math>P_{33}=1>P_{22}=0.2>0</math>，那么<math>A_{2}=A_{3}=\{1,2,\ldots\}</math>，所以它们都是非周期的。对于状态1，其与状态2互通且状态2一步可达自身，那么<math>A_{1}=\{2,3,\ldots\}</math>，所以状态1也是非周期的。

上述分类方法是基于局部性质进行两两判断分类。此外，还可以从整体转移机制的角度对状态进行划分，详细介绍参见[[Lumpability|成块性]]（Lumpability）。

上述分类方法是基于局部性质进行两两判断分类。此外，还可以从整体转移机制的角度对状态进行划分，详细介绍参见[[Lumpability|成块性]]（Lumpability）。

==演化性质==

==演化性质==