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下面详细介绍该理论的基本概念，分别是动力学可逆性、近似动力学可逆性、清晰因果涌现和模糊因果涌现。
下面详细介绍该理论的基本概念，分别是动力学可逆性、近似动力学可逆性、清晰因果涌现和模糊因果涌现。
==动力学可逆性==
==动力学可逆性==
===离散动力学===
对于给定的马尔可夫链<math>\chi</math>和对应的转移概率矩阵(TPM) P ，如果P同时满足：
对于给定的马尔可夫链<math>\chi</math>和对应的转移概率矩阵(TPM) P ，如果P同时满足：
# P是可逆矩阵，即存在矩阵<math>P^{-1}</math>，使得<math>PP^{-1}=I</math>，[math]I[/math]为单位矩阵；
# P是可逆矩阵，即存在矩阵<math>P^{-1}</math>，使得<math>PP^{-1}=I</math>，[math]I[/math]为单位矩阵；
</blockquote>
</blockquote>
这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和[[弗罗贝尼乌斯范数]]都与奇异值相联系。
这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和[[弗罗贝尼乌斯范数]]都与奇异值相联系。
===连续动力学===
TPM矩阵上基于SVD的因果涌现虽然能得到不依赖粗粒化策略的因果涌现，但是也存在一个弊端，就是只能量化离散条件概率空间的因果效应强度和因果涌现。由于离散概率空间和连续概率空间具有本质的不同，对于连续条件概率空间的基于SVD的因果涌现，我们需要单独进行分析，代表性的就是高斯噪声迭代系统的基于SVD的因果涌现<ref name=":15">Kaiwei Liu, Linli Pan, Zhipeng Wang, et al. SVD-based Causal Emergence for Gaussian Iterative Systems. arXiv:2502.08261, 2025.</ref>。
高斯噪声的随机迭代系统可以写成：
<blockquote>
<math>X_{𝑡+1} = a_0 + 𝐴⋅𝑋𝑡 +\xi_𝑡
</math>
</blockquote>
其中<math>𝑋_𝑡</math>是t时刻的状态向量, 维数为<math>n</math>，<math>\xi\sim\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>，<math>\Sigma\in\mathcal{R}^{n\times n}</math>是协方差矩阵。这是一种最简单的连续状态空间的马尔科夫动力学，因此，我们要将SVD方法扩展到这类系统上。逆向动力学的协方差矩阵<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和正向动力学的协方差矩阵<math>Σ^{−1}</math>共同影响了近似可逆性的大小，可以理解为，必须两个协方差都很小，非满秩或病态的维度影响较小的时候，系统动力学才有更强的可逆性。
我们的思路是，首先利用泛函分析的思想，找到概率转移矩阵的对应物；其次，利用傅里叶变换求出奇异值的表达式，最终写出近似动力学可逆性<math>\Gamma_\alpha</math>的表达式。
==TPM矩阵的近似动力学可逆性与因果涌现==
==TPM矩阵的近似动力学可逆性与因果涌现==
==高斯噪声迭代系统的近似动力学可逆性与因果涌现==
==高斯噪声迭代系统的近似动力学可逆性与因果涌现==
TPM矩阵本质上是离散条件概率构<math>p(x_{t+1}|x_t)</math>成的矩阵，因此从条件概率的角度类比到连续系统，高斯迭代系统的概率转移矩阵为：
<blockquote>
<blockquote>
<math> p(x_{t+1}|x_t)=\mathcal{N}(Ax_{t}+a_0,\Sigma)\equiv \frac{1}{(2\pi)^\frac{n}{2}\det(\Sigma)^\frac{1}{2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)^T\Sigma^{-1}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)\right\},
<math> p(x_{t+1}|x_t)=\mathcal{N}(Ax_{t}+a_0,\Sigma)\equiv \frac{1}{(2\pi)^\frac{n}{2}\det(\Sigma)^\frac{1}{2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)^T\Sigma^{-1}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)\right\},
=与有效信息（EI）的比较=
=基于有效信息（EI）与基于可逆性的两种因果涌现的对比=
==TPM矩阵==
TPM矩阵基于有效信息（EI）与基于可逆性的两种因果涌现可以通过直接对近似可逆性和有效信息进行数值模拟和可视化得到近似的关系。
'''定理3：'''对于任意 TPM P 和 <math>
'''定理3：'''对于任意 TPM P 和 <math>
[[文件:202401012.png|替代=|603x603像素]]
[[文件:202401012.png|替代=|603x603像素]]
==不同==
===不同===
首先，EI 通过KL散度来量化每个行向量与P的平均行向量之间的差异，衡量的是行向量之间的相似性。相反，<math>
首先，EI 通过KL散度来量化每个行向量与P的平均行向量之间的差异，衡量的是行向量之间的相似性。相反，<math>
\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}