更改

=== 因果涌现度量 ===

=== 因果涌现度量 ===

基于有效信息的定义，我们可以量化系统粗粒化前后因果效应的变化，即度量[[因果涌现]]。下面给出了因果涌现框架的示意图。其中，横坐标表示时间（time），纵坐标表示尺度（scale）。该框架可以看成是对同一个动力系统在微观和宏观两种尺度上的描述。其中，[math]f_m[/math]表示微观动力学，[math]f_M[/math]表示宏观动力学，二者通过一个粗粒化函数[math]\phi[/math]相连。在一个离散状态的马尔科夫动力系统中，[math]f_m[/math]和[math]f_M[/math]都是[[马尔科夫链]]，对[math]f_m[/math]进行[[马尔科夫链的粗粒化]]，就可以得到[math]f_M[/math]。<math> EI </math>是[[有效信息]]的度量。由于微观态可能具有更大的随机性，这导致微观动力学的[[因果性]]比较弱，所以通过对每一个时刻的微观态进行合理的粗粒化，就有可能得到因果性更强的宏观态。

基于有效信息的定义，我们可以量化系统粗粒化前后因果效应的变化值，并用此变化值来度量[[因果涌现]]的强度。

[[文件:因果涌现理论.png|因果涌现理论框架|alt=因果涌现理论抽象框架|居左|400x400像素]]

因此，一个[[马尔科夫动力系统]]的因果涌现指标CE可以被定义为：

 

<math>

<math>

CE = EI(P_M) - EI(P_m)

CE = EI(f_M) - EI(f_m)

</math>

</math>

这里[math]P_m[/math]为微观态的马尔科夫概率转移矩阵，维度为：[math]N\times N[/math]，N为微观态数；而[math]P_M[/math]为对[math]P_m[/math]做粗粒化操作之后得到的宏观态的马尔科夫概率转移矩阵，维度为[math]M\times M[/math]，其中[math]M<N[/math]为宏观态数。

这里[math]f_m[/math]为微观态的马尔科夫概率转移矩阵，维度为：[math]N\times N[/math]，N为微观态数；而[math]f_M[/math]为对[math]f_m[/math]做粗粒化操作之后得到的宏观态的马尔科夫概率转移矩阵，维度为[math]M\times M[/math]，其中[math]M<N[/math]为宏观态数。

如果计算得出的CE>0，则称该系统发生了[[因果涌现]]，否则没有发生。有时，我们也会根据归一化的EI来计算[[因果涌现度量]]，消除系统尺寸的影响，即：

如果计算得出的CE>0，则称该系统发生了[[因果涌现]]，否则没有发生。有时，我们也会根据归一化的EI来计算[[因果涌现度量]]，消除系统尺寸的影响，即定义：

<math>

<math>

ce = Eff(P_M) - Eff(P_m)

ce = Eff(f_M) - Eff(f_m)

</math>

</math>

因果涌现的度量可以拆解出两种效应：1.系统机制有效性的提升 <math>\Delta{I_{Eff}}</math>；2.状态空间的尺度效应 <math>\Delta{I_{Size}}</math>。

 

因此，因果涌现的度量可以拆解出两种效应：1.系统动力学的有效性（Eff）的提升 <math>\Delta{I_{Eff}}</math>；2.状态空间的尺度效应 <math>\Delta{I_{Size}}</math>。

<math>CE = \Delta{I_{Eff}} + \Delta{I_{Size}}</math>

<math>CE = \Delta{I_{Eff}} + \Delta{I_{Size}}</math>