更改

在下面的讨论中，[math]X_m[/math]表示微观变量的集合；[math]X_M[/math]表示宏观变量的集合。微观变量的取值集合为[math]\{0,1\}[/math]，即都是布尔值变量，我们用拉丁字母[math]\{A, B, C…\}[/math]来表示，宏观变量则用希腊字母[math]\{α， β， γ. .\}[/math]表示。每个微观变量的状态标记为[math]\{0,1\}[/math]，宏观变量的状态标记为[math]\{“on”，“off”\}[/math]或[math]\{“bursting”，“quiet”\}[/math]。微观态对应的转移概率矩阵(TPM)为[math]P_m[/math]，宏观态对应的转移概率矩阵(TPM)为[math]P_M[/math]。

在下面的讨论中，[math]X_m[/math]表示微观变量的集合；[math]X_M[/math]表示宏观变量的集合。微观变量的取值集合为[math]\{0,1\}[/math]，即都是布尔值变量，我们用拉丁字母[math]\{A, B, C…\}[/math]来表示，宏观变量则用希腊字母[math]\{α， β， γ. .\}[/math]表示。每个微观变量的状态标记为[math]\{0,1\}[/math]，宏观变量的状态标记为[math]\{“on”，“off”\}[/math]或[math]\{“bursting”，“quiet”\}[/math]。微观态对应的转移概率矩阵(TPM)为[math]P_m[/math]，宏观态对应的转移概率矩阵(TPM)为[math]P_M[/math]。

==== 空间因果涌现 ====

==== 空间因果涌现 ====

根据前文，因果涌现量化指标可以拆分为确定性和简并性两项。接下来，我们对由确定性和由简并性主导的因果涌现分别给出一个实例，介绍空间因果涌现。

根据前文，因果涌现量化指标可以拆分为确定性和简并性两项。接下来，我们对由确定性和由简并性主导的因果涌现分别给出一个实例，介绍空间因果涌现。

=====提高确定性实例分析=====

=====提高确定性实例分析=====

[[文件:Spatial1-A.png|无框|600x400像素]]

[[文件:Spatial1-A.png|无框|600x400像素]]

'''粗粒化映射'''：从上图TPM可以看出，这个概率转移矩阵非常复杂，但同时矩阵也有一些规律可循，比如前12行和后4行的模式差异较大，前12行中每4行的模式都是重复的。因此思考是否可以提炼出其中的规律，更加高效地表达系统态之间的状态转移模式。首先可以看系统内是有分组机制，四个微观变量被分为了两组，每组都接受另一组变量的输入且响应机制相同，同组变量的状态之间不会互相影响，因此同组变量之间是独立等价的，可以被映射或归类为同一个宏观变量。具体的粗粒化方案为：将微观变量集合[math]X_m = \{ABCD\}[/math]归并为两个宏观变量，即[math]X_M = {α, β}[/math]，其中[math]\alpha=AB[/math]，[math]\beta=CD[/math]。并且，[math]\alpha,\beta[/math]的取值集合为：{"off" ,"on"}。同时，我们可以定义微观变量取值到宏观变量取值的对应规则，如图B中的表所示。

'''粗粒化映射'''：Hoel等人给出的具体的粗粒化方案为：将微观变量集合[math]X_m = \{ABCD\}[/math]归并为两个宏观变量，即[math]X_M = {α, β}[/math]，其中[math]\alpha=AB[/math]，[math]\beta=CD[/math]。并且，[math]\alpha,\beta[/math]的取值集合为：{"off" ,"on"}。同时，我们可以定义微观变量取值到宏观变量取值的对应规则，如图B中的表所示。

'''宏观动力学'''：粗粒化后，现在由2个宏观变量组成，每个宏观变量有2个态，所以共有[math]2^2=4[/math]个宏观态。将系统以等概率设置为所有可能的宏观态，根据宏观态之间的转移规则，可以得到 4 × 4 的[math]P_M[/math] 概率转移矩阵。粗粒化后，宏观态的概率转移矩阵规模减小，但是状态间的转移规律更明确。宏观动力学[math]EI(P_M) = Det(P_M) - Deg(P_M) = 1.56 - 0.01 = 1.55 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(P_M) = 0.78[/math]，高于微观动力学的[math]EI(P_m) = 1.15 \text{ bits}[/math]。因此，因果涌现度量[math]CE = EI(P_M) - EI(P_m) = 0.40 \text{ bits}[/math]，宏观动力学的因果性优于微观动力学，因果涌现发生。

'''宏观动力学'''：粗粒化后，系统现在由2个宏观变量组成，每个宏观变量有2个态，所以共有[math]2^2=4[/math]个宏观态。根据系统微观态的TPM和粗粒化映射规则，我们可以得到一个衍生的宏观态的机制（如图C所示），或等价的一个 4 × 4 的概率转移矩阵（TPM）：[math]P_M[/math]。粗粒化后，宏观态的概率转移矩阵规模减小，但是状态间的转移规律更明确。宏观动力学[math]EI(P_M) = Det(P_M) - Deg(P_M) = 1.56 - 0.01 = 1.55 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(P_M) = 0.78[/math]，高于微观动力学的[math]EI(P_m) = 1.15 \text{ bits}[/math]。因此，因果涌现度量[math]CE = EI(P_M) - EI(P_m) = 0.40 \text{ bits}[/math]，宏观动力学的因果性优于微观动力学，因果涌现发生。

本例中，在宏观动力学的有效性[math]\Delta I_{Eff}[/math]的增益主要来自于减少噪声干扰，即确定性提高（归一化后：[math]Det(P_m) = 0.34[/math]; [math]Det(P_M) = 0.78[/math]），少部分来源于简并性减少（归一化后：[math]Deg(P_m) = 0.05[/math]; [math]Deg(P_M) = 0.006[/math]）。

本例中，在宏观动力学的有效性[math]\Delta I_{Eff}[/math]的增益主要来自于减少噪声干扰，即确定性提高（归一化后：[math]Det(P_m) = 0.34[/math]; [math]Det(P_M) = 0.78[/math]），少部分来源于简并性减少（归一化后：[math]Deg(P_m) = 0.05[/math]; [math]Deg(P_M) = 0.006[/math]）。