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→成块性为什么重要？
==成块性为什么重要？==
==成块性为什么重要？==
为理解成块性(lumpability)的重要性，我们通过一个反例来揭示不满足成块性的粗粒化方案的缺陷。给定图中的马尔科夫链，我们尝试将状态{1,2}合并为宏观态<math>A</math>，{3,4}合并为<math>B</math>。
为理解成块性(lumpability)的重要性，我们通过一个反例来揭示不满足成块性的粗粒化方案的缺陷。给定如下图所示的马尔科夫链，假设我们尝试进行如下的粗粒化操作，即将状态{1,2}合并为宏观态<math>A</math>，{3,4}合并为<math>B</math>。
[[文件:非一致性示例.png|缩略图|图1：不满足一致性粗粒化示例|替代=|700像素|无]]
[[文件:非一致性示例.png|缩略图|图1：不满足一致性粗粒化示例|替代=|700像素|无]]
当我们构建粗粒化后的尺寸为<math>2\times 2</math>的宏观马尔科夫链<math>P'</math>时，分组A到分组B的概率应满足：'''从<math>A</math>或<math>B</math>的中任一微观态出发，转移到<math>A</math>或<math>B</math>中各个状态的总概率必须相同'''，这是根据条件概率的加法公理而自然导出的要求。
例如，图中的<math>P'</math>左上角的元素（组<math>A</math>到组<math>A</math>的概率）等于微观态1或微观态2转移到A的概率，都等于0.6。同理，右上角的元素（组<math>A</math>到组<math>B</math>的概率）等于0.4。
然而计算左下角的（即组<math>B</math>到组<math>A</math>的概率）的概率时发现：从微观态3转移到组<math>A</math>的概率为0.3+0.3=0.6，从微观态4转移到组<math>A</math>的概率为0.1+0.1=0.2。这种组内转移概率的冲突导致我们无法定义唯一的<math>B \rightarrow A</math>的宏观转移概率。
为了得到一组合理的宏观转移概率，我们可以尝试如下三种取值方案：设从微观态3到A的概率=0.6；设从微观态4到A的概率=0.2；然后把0.6和0.2取平均得到，从而得到一个转移概率：0.4。事实上，这种方案强行构造了一个宏观的转移矩阵。这种强制定义的转移概率粗粒化方案看似合理，但是却暗藏着矛盾。
比如设左下角的所有元素的概率=0.6，右下角的所有元素概率=0.4，则我们可强行得到一个宏观转移概率矩阵（TPM）：
<math>
<math>
\begin{aligned}
\begin{aligned}
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
虽然该TPM满足马尔科夫概率转移矩阵的所有条件，但将它与微观态分布以及粗粒化操作合在一起以后，就可能导致不合理性。
例如，我们假设系统的微观初始状态分布为：(1, 0, 0, 0)，则根据我们的粗粒化方案，系统的宏观初始状态分布则会是(1, 0)。我们可以计算宏观和微观各演化2步后的概率：微观为(0.28, 0.28, 0.28, 0.16)，宏观为(0.6, 0.4)。我们发现，把两步演化后得到的微观的状态分布映射到宏观后便会得到一个宏观态分布：(0.56, 0.44)，这与前述由两步宏观动力学演化得到的状态分布(0.6, 0.4)不一样。也就是说，'''宏观和微观的演化结果不一致，这样的粗粒化方案被称为不满足一致性。它构建的宏观动力学无法准确地反映系统的演化，与本来的微观动力学存在偏差。'''
所以，我们需要一个能保证一致性的状态划分以及粗粒化方案，并根据该划分定义对应的宏观动力学，来准确反映微观动力学在宏观上的映射。而成块性是一种针对状态划分方案的指标。当一个状态划分满足成块性时，它一定能保证宏观和微观动力学的一致性。而且，它还能保证动力学算子和粗粒化算子的可交换性，也就是说，无论我们是先做粗粒化再经历动力学演化（宏观动力学演化），还是我们先经历动力学演化（微观动力学演化）再进行粗粒化，这两条路径，如图（1）所示，最终得到的结果都是一样的。
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