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下面，我们就来依次介绍这四个步骤。
下面，我们就来依次介绍这四个步骤。
=== 1. 基础模型-无组织的定居模型 ===
=== 基础模型-无组织的定居模型 ===
* 首先我们考虑一个人口在城市空间内随机分布的模型，城市的人口数量为N，面积为A，人们在空间中自由移动，就像是理想气体分子。（如图）
* 首先我们考虑一个人口在城市空间内随机分布的模型，城市的人口数量为N，面积为A，人们在空间中自由移动，就像是理想气体分子。（如图）
以上的分析实际上会高估产出，低估成本。因为现实的情况肯定不是人们像理想气体分子一样在空间中运动，而是移动会受到地理空间的约束。人和人的交互也是在空间约束的条件下进行的。于是就有了以下的改进
以上的分析实际上会高估产出，低估成本。因为现实的情况肯定不是人们像理想气体分子一样在空间中运动，而是移动会受到地理空间的约束。人和人的交互也是在空间约束的条件下进行的。于是就有了以下的改进
=== 2. 城市组织的四条基本原则 ===
=== 城市组织的四条基本原则 ===
基于以上的设置，一个更为现实的模型如下。它有四个基本的假设
基于以上的设置，一个更为现实的模型如下。它有四个基本的假设
==== 假设1：人口充分混合====
要求每个城市居民可获取的最低资源[math]y_{min} = GN^2/A[/math]，与到达城市任何地方的成本相匹配。并且引入移动空间维数[math]H_m[/math]，即移动距离/成本和城市面积的关系为[math]c \sim A^{H_m/2}[/math]，也就是居民的移动范围定义了城市的面积，[math]H_m=1[/math]时其实就回退到了前面的版本
要求每个城市居民可获取的最低资源[math]y_{min} = GN^2/A[/math]，与到达城市任何地方的成本相匹配。并且引入移动空间维数[math]H_m[/math]，即移动距离/成本和城市面积的关系为[math]c \sim A^{H_m/2}[/math]，也就是居民的移动范围定义了城市的面积，[math]H_m=1[/math]时其实就回退到了前面的版本
====假设2：网络增长随着人口增长====
这一假设要求基础建设网络要随着人口的增加而增长，以满足每个人便捷出行的需求。引入道路面积[math]A_n[/math]
这一假设要求基础建设网络要随着人口的增加而增长，以满足每个人便捷出行的需求。引入道路面积[math]A_n[/math]
====假设3：有限的人类社会能力====
这一假设要求了在平均意义上，人们在移动[math]l[/math]上的努力和在互动[math]a_0[/math]上的努力G，是不随城市规模变化的。即 [math]dG/dN = 0[/math]
这一假设要求了在平均意义上，人们在移动[math]l[/math]上的努力和在互动[math]a_0[/math]上的努力G，是不随城市规模变化的。即 [math]dG/dN = 0[/math]
====假设4：社会经济产出正比于局部的社会交互。====
这一部分和第一部分类似，引入产出系数[math]g[/math]，将交互转化为社会产出。即[math]y = g k[/math]其中[math] k = l a_0 N / A_n[/math]，最终可以得到社会总产出的表达式[math]Y = N y =g l a_0 N^2/A_n[/math]。根据假设3，有[math]Y = G N^2/A_n[/math]
这一部分和第一部分类似，引入产出系数[math]g[/math]，将交互转化为社会产出。即[math]y = g k[/math]其中[math] k = l a_0 N / A_n[/math]，最终可以得到社会总产出的表达式[math]Y = N y =g l a_0 N^2/A_n[/math]。根据假设3，有[math]Y = G N^2/A_n[/math]
到目前为止，所谓的机制模型其实完全没有基建网络如何构建的细节，只有一些基本的宏观原则。所以，接下来的部分，就进入了贝当古模型的第三个模块，通过一个层级化的基建网络模型，目的是试图为城市规划等问题提供实质的理论指导。
到目前为止，所谓的机制模型其实完全没有基建网络如何构建的细节，只有一些基本的宏观原则。所以，接下来的部分，就进入了贝当古模型的第三个模块，通过一个层级化的基建网络模型，目的是试图为城市规划等问题提供实质的理论指导。
=== 3. 层级网络模型 ===
=== 层级网络模型 ===
在这一模型中，城市的道路网络被假设为是一个层级化的分形网络，下面我们来介绍其基本设置。
在这一模型中，城市的道路网络被假设为是一个层级化的分形网络，下面我们来介绍其基本设置。
==== 微观模型基本设置 ====
越底层的分支路面越窄。网络的每一层都对应着b个下一层的分支数。于是，整个道路网络就被构造成了一个规则的树状结构，分叉数为b，如下图所示
[[File:hierache_network.png|居中|600px]]
[[File:hierache_network.png|居中|600px]]
这棵树每一层的节点数量为[math]N_i = b^i[/math]。将最底层的节点定义为人口，也就是给出了边界条件[math]N_h = b^h = N[/math]。那么每一层的节点[math]N_i[/math]就可以理解为对应层级的道路可以覆盖的人口。根据当前的条件， 我们可以推出[math]h = lnN/lnb[/math]
这棵树每一层的节点数量为[math]N_i = b^i[/math]。将最底层的节点定义为人口，也就是给出了边界条件[math]N_h = b^h = N[/math]。那么每一层的节点[math]N_i[/math]就可以理解为对应层级的道路可以覆盖的人口。根据当前的条件， 我们可以推出[math]h = lnN/lnb[/math]
==== 设置道路相关物理量 ====
进一步，设置道路相关的物理量：尺度i上的单位段长度为[math]l_i[/math]，跨越的城市面积为[math]a_i[/math]，横向维度（即道路宽度）为[math]s_i[/math]。
* 基础设施需要覆盖每一个人，也就是每个尺度的道路都是要面积填充的。即[math]N_ia_i = A_i[/math]
* 根据第二部分的原则1，基础设施需要覆盖每一个人，也就是每个尺度的道路都是要面积填充的。即[math]N_ia_i = A_i[/math]
* 根据第二部分的假设1，我们可以类得到每个尺度的面积和基建单元的关系[math]N_ia_i = N_i^{2/3}[/math]，可以得到[math]a_i = b^{-i/3}[/math]
* 同样根据第二部分的假设1，我们可以类得到每个尺度的面积和基建单元的关系[math]N_ia_i = N_i^{2/3}[/math]，可以得到[math]a_i = b^{-i/3}[/math]
* 根据第二部分的假设2，由道路定义交互距离，根据交互特征长度[math]l = a_h/l_h[/math]，得到人均道路长度为[math]l_h \sim N^{-1/3}[/math]，随着城市规模的增大而减小。最终也可得到不同尺度的道路单元长度[math]l_i \sim b^{-i/3}[/math]
* 根据第二部分的假设2，由道路定义交互距离，根据交互特征长度[math]l = a_h/l_h[/math]，得到人均道路长度为[math]l_h \sim N^{-1/3}[/math]，随着城市规模的增大而减小。最终也可得到不同尺度的道路单元长度[math]l_i \sim b^{-i/3}[/math]
* 假设最微观的横向维度[math]s_*[/math]与规模无关。得到可以得到道路宽度的标度变化[math]s_{i} = s_{*}b^{\frac{5}{6}(h-i)}[/math]。
* 假设最微观的横向维度[math]s_*[/math]与规模无关。得到可以得到道路宽度的标度变化[math]s_{i} = s_{*}b^{\frac{5}{6}(h-i)}[/math]。
==== 计算相关宏观指标 ====
根据等比数列求和，最后我们可以得到道路总长度[math]L_n[/math]和道路总面积[math]A_n[/math]的表达式:
根据等比数列求和，最后我们可以得到道路总长度[math]L_n[/math]和道路总面积[math]A_n[/math]的表达式:
级数收敛的条件也是满足的。
级数收敛的条件也是满足的。
=== 4. 城市能耗与城市效率评价 ===
我们还可以得到地价和规模的关系[math]P = Y/L_n \sim N^{\frac{1}{2}}[/math]。下表展示了文章中相关的幂律理论结果，所有的指标和实证都非常接近。
[[文件:City scaling table.png|居中|600px]]
=== 城市能耗与城市效率评价 ===
最后，贝当古还根据这些基本的推论讨论了城市的运行效率问题。这部分的讨论很大程度上借鉴了west推导生物克莱伯法则的思路。
最后，贝当古还根据这些基本的推论讨论了城市的运行效率问题。这部分的讨论很大程度上借鉴了west推导生物克莱伯法则的思路。
==== 城市道路流量守恒 ====
首先假设对城市道路引入了“流量”的概念，他可以表示为城市的交通流，也可以为维持城市移动和交互所必需的能量流。并假设这一流量/能量在各个层级上都是守恒的，根据流量公式，有[math]J_i = s_i N_i \rho_i v_i =s_{i-1} N_{i-1} \rho_{i-1} v_{i-1} = J_{i-1}[/math]。
其中[math]v[/math]是流速，[math]\rho[/math]是流量密度。根据前一个部分得出的关系[math]N_i=b^i[/math]和[math]s_{i} = s_{*}b^{\frac{5}{6}(h-i)}[/math]，可以得到[math]\rho_i v_i = b^{-1/6} \rho_{i-1} v_{i-1}[/math]。这一关系告诉我们，流量密度随i的增加（更微观）而减小，也就是高速公路比小道路更快，车辆更多。
其中[math]v[/math]是流速，[math]\rho[/math]是流量密度。根据前一个部分得出的关系[math]N_i=b^i[/math]和[math]s_{i} = s_{*}b^{\frac{5}{6}(h-i)}[/math]，可以得到[math]\rho_i v_i = b^{-1/6} \rho_{i-1} v_{i-1}[/math]。这一关系告诉我们，流量密度随i的增加（更微观）而减小，也就是高速公路比小道路更快，车辆更多。
假设最微观的流量密度与规模无关[math]\rho_h v_h = \rho_* v_*[/math]，可以得到[math] \rho_i v_i = b^{\frac{1}{6}(h-1)} \rho_* v_*[/math]
最终，总流量[math]J_i[/math]就是一个线性项[math]J_i = J = J_0N[/math]，其中[math]J_0 = s_* \rho_* v_*[/math]。也就是说，非线性的基础设施和非线性的社会产出，最终推导出了个体需求的线性关系
最终，总流量[math]J_i[/math]就是一个线性项[math]J_i = J = J_0N[/math]，其中[math]J_0 = s_* \rho_* v_*[/math]。也就是说，非线性的基础设施和非线性的社会产出，最终推导出了个体需求的线性关系
==== 城市功耗 ====
进一步，引入电阻的概念，用于计算城市运转带来的功率损耗。假设单位长度和单位横向网络面积的电阻[math]r_J[/math]是恒定的。根据层级模型，将每一层看做[math]N_i[/math]个并联电阻。可以得到
每一层的总电阻[math]R_{J_i} = \frac{r_{J_i}}{N_i} = \frac{r_{J}l_i a_{is}}{N_i}[/math]
每一层的总电阻[math]R_{J_i} = \frac{r_{J_i}}{N_i} = \frac{r_{J}l_i a_{is}}{N_i}[/math]
</math>
</math>
显然，如果一个城市增加产出，或者通过优化基础建设网络减少能耗，都能提高城市运行的效率。影响E的主要就是[math]Y_0[/math]和[math]W_0[/math]的大小，而二者都是[math]G[/math]的函数因此，可以根据拉格朗日乘子法计算最优的城市效率[math]G^*[/math]
显然，如果一个城市增加产出，或者通过优化基础建设网络减少能耗，都能提高城市运行的效率。影响E的主要就是[math]Y_0[/math]和[math]W_0[/math]的大小，而二者都是[math]G[/math]的函数。因此，可以根据拉格朗日乘子法计算最优的城市效率[math]G^*[/math]
[[文件:G.png|缩略图|居中|替代=|600x600像素]]
[[文件:G.png|缩略图|居中|替代=|600x600像素]]