5,443
个编辑
更改
→随机矩阵与Q矩阵的等价关系
如果随机矩阵<math>P</math>可以用一个<math>Q</math>矩阵的矩阵指数表示成<math>P=e^Q</math>，我们可就以填补<math>P</math>所决定的随机过程的“空隙”。我们固定一个非零整数<math>m</math>,并令<math>(X^m_n)_{n\geq 0}</math>为离散时间马尔科夫链Markov(<math>\lambda,e^{Q/m}</math>)，再令<math>X_{n/m}=X^m_n</math>，就得到了一个具有时间参数为<math>\{n/m:n=0,1,2,…\}</math>的马尔科夫链。按我们的标记，当<math>m=1</math>，得到的<math>X_n</math>就是原来的离散时间马尔可夫链Markov（<math>\lambda,P</math>）。由<math>(e^{Q/m})^m=e^Q=P</math>，当我们在<math>X_{n/m}</math>中对时间参数取样为整数时，就得到了Markov（<math>\lambda,P</math>）。当m取得足够大的时候，时间参数就会被细分得足够地小，最终我们可以得到一个连续时间马尔科夫链<math>(X_t)_{t\geq 0}</math>，当对<math>t</math>取样为整数时，就回到了离散时间马尔科夫链Markov（<math>\lambda,P</math>）。
如果随机矩阵<math>P</math>可以用一个<math>Q</math>矩阵的矩阵指数表示成<math>P=e^Q</math>，我们可就以填补<math>P</math>所决定的随机过程的“空隙”。我们固定一个非零整数<math>m</math>,并令<math>(X^m_n)_{n\geq 0}</math>为离散时间马尔科夫链Markov(<math>\lambda,e^{Q/m}</math>)，再令<math>X_{n/m}=X^m_n</math>，就得到了一个具有时间参数为<math>\{n/m:n=0,1,2,…\}</math>的马尔科夫链。按我们的标记，当<math>m=1</math>，得到的<math>X_n</math>就是原来的离散时间马尔可夫链Markov（<math>\lambda,P</math>）。由<math>(e^{Q/m})^m=e^Q=P</math>，当我们在<math>X_{n/m}</math>中对时间参数取样为整数时，就得到了Markov（<math>\lambda,P</math>）。当m取得足够大的时候，时间参数就会被细分得足够地小，最终我们可以得到一个连续时间马尔科夫链<math>(X_t)_{t\geq 0}</math>，当对<math>t</math>取样为整数时，就回到了离散时间马尔科夫链Markov（<math>\lambda,P</math>）。
因此我们可以将离散时间马尔科夫链看做是连续时间马尔科夫链在整数时间点取样得到的特殊情况。我们稍微提前说明一下，一个具有<math>Q</math>矩阵<math>Q</math>的连续时间的马尔科夫链<math>(X_t)_{t\geq 0}</math>满足<math>\mathbb{p}(X_{t_{n+1}}=|X_{t_0}=i_0,…,X_{t_n}=i_n)=p_{i_ni_{n+1}(t_n+1-t_n)}</math>，对所有<math>n=0,1,2,…</math>，所有时间<math>0\leq t_0\leq … \leq t_{n+1}</math>，以及所有状态<math>i_0,…,i_{n+1}</math>，其中<math>p_{ij}(t)</math>是<math>e^{tQ}</math>中位置为<math>(i,j)</math>的元素。特别的，在<math>t</math>时刻从状态<math>i</math>到状态<math>j</math>的转移概率由<math>\mathbb{P}(X_t=j):=\mathbb{P}(X_t=j|X_0=i)=p_ij(t)</math>。读者可以与离散时间马尔科夫链自行比较一下。
==参考文献==
==参考文献==
<references />
<references />