更改

例如，我们假设系统的微观初始状态分布为：(1, 0, 0, 0)，则根据我们的粗粒化方案，系统的宏观初始状态分布则会是(1, 0)。我们可以计算宏观和微观各演化2步后的概率：微观为(0.28, 0.28, 0.28, 0.16)，宏观为(0.6, 0.4)。我们发现，把两步演化后得到的微观的状态分布映射到宏观后便会得到一个宏观态分布：(0.56, 0.44)，这与前述由两步宏观动力学演化得到的状态分布(0.6, 0.4)不一样。也就是说，'''宏观和微观的演化结果不一致，这样的粗粒化方案被称为不满足一致性。它构建的宏观动力学无法准确地反映系统的演化，与本来的微观动力学存在偏差。'''

例如，我们假设系统的微观初始状态分布为：(1, 0, 0, 0)，则根据我们的粗粒化方案，系统的宏观初始状态分布则会是(1, 0)。我们可以计算宏观和微观各演化2步后的概率：微观为(0.28, 0.28, 0.28, 0.16)，宏观为(0.6, 0.4)。我们发现，把两步演化后得到的微观的状态分布映射到宏观后便会得到一个宏观态分布：(0.56, 0.44)，这与前述由两步宏观动力学演化得到的状态分布(0.6, 0.4)不一样。也就是说，'''宏观和微观的演化结果不一致，这样的粗粒化方案被称为不满足一致性。它构建的宏观动力学无法准确地反映系统的演化，与本来的微观动力学存在偏差。'''

==最初定义==

==最初定义==

[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|图2：矩阵粗粒化示例|替代=|800x300像素|无]]

[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|图2：矩阵粗粒化示例|替代=|800x300像素|无]]

例如图（2）所示的4状态马尔科夫链，选择投影矩阵<math>\Phi  = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>时，微观状态序列<math>(s_1, s_3, s_4, s_2, s_2, s_3)</math>在被分组后的状态上就表现为序列：<math>(A_1, A_2, A_2, A_1, A_1, A_2)</math>，这个序列实际上便自然定义了一个新的随机过程，我们称其为简化过程（lumped process）。

例如图2所示的4状态马尔科夫链，选择投影矩阵<math>\Phi  = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>时，微观状态序列<math>(s_1, s_3, s_4, s_2, s_2, s_3)</math>在被分组后的状态上就表现为序列：<math>(A_1, A_2, A_2, A_1, A_1, A_2)</math>，这个序列实际上便自然定义了一个新的随机过程，我们称其为简化过程（lumped process）。

式子{{EquationNote|1.1}}, {{EquationNote|1.2}}, {{EquationNote|1.3}}描述的简化过程，是我们从任意一个初始状态分布<math>s^{(0)}=\pi</math>开始，走了<math>t</math>步的微观动力学，然后在每一步<math>t</math>做粗粒化得到<math>A^{(t)}</math>的过程。在这里，我们强调对初始状态分布<math> \pi </math>的依赖，是因为这三个概率的取值有可能会随着不同的<math> \pi </math>而变化。

式子{{EquationNote|1.1}}, {{EquationNote|1.2}}, {{EquationNote|1.3}}描述的简化过程，是我们从任意一个初始状态分布<math>s^{(0)}=\pi</math>开始，走了<math>t</math>步的微观动力学，然后在每一步<math>t</math>做粗粒化得到<math>A^{(t)}</math>的过程。在这里，我们强调对初始状态分布<math> \pi </math>的依赖，是因为这三个概率的取值有可能会随着不同的<math> \pi </math>而变化。

因为简化过程是从<math>s^{(t)}</math>先经历微观动力学演化再粗粒化到达<math>A^{(t+1)}</math>，所以走的是图（2）中"微观状态->微观动力学->粗粒化->宏观状态"的这条路径（细心的读者可能会发现在图中还有另一条路径，我们会在后面讨论）。需要注意的是，虽然我们能对任意一个状态划分<math>\Phi</math>定义这样的简化过程，但是这些简化过程不一定会拥有马尔科夫性。

因为简化过程是从<math>s^{(t)}</math>先经历微观动力学演化再粗粒化到达<math>A^{(t+1)}</math>，所以走的是图2中"微观状态->微观动力学->粗粒化->宏观状态"的这条路径（细心的读者可能会发现在图中还有另一条路径，我们会在后面讨论）。需要注意的是，虽然我们能对任意一个状态划分<math>\Phi</math>定义这样的简化过程，但是这些简化过程不一定会拥有马尔科夫性。

因为有些简化过程的概率会受到初始状态<math> \pi </math>的影响，或者它们不符合马尔科夫性。如图（1）的例子所示，我们无法用这种‘失败’的简化过程来描述一个和微观过程保持一致的宏观动力学。下面，我们会用'''成块性'''这一新概念来定义所谓的'成功'的动力学，即我们会把‘成功’的情况定义为成块的划分，而‘失败’的情况则是不成块的。

因为有些简化过程的概率会受到初始状态<math> \pi </math>的影响，或者它们不符合马尔科夫性。如图1的例子所示，我们无法用这种‘失败’的简化过程来描述一个和微观过程保持一致的宏观动力学。下面，我们会用'''成块性'''这一新概念来定义所谓的'成功'的动力学，即我们会把‘成功’的情况定义为成块的划分，而‘失败’的情况则是不成块的。

===成块的划分===

===成块的划分===

[[文件:Lumpable和non-lumpable的例子.png|缩略图|图3：对成块的和不成块的矩阵做粗粒化|替代=|800x300像素|无]]

[[文件:Lumpable和non-lumpable的例子.png|缩略图|图3：对成块的和不成块的矩阵做粗粒化|替代=|800x300像素|无]]

从图（3）的成块划分的例子中，我们看到对于分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，成块的动力学TPM可以找到一个简化过程，而这个简化过程满足马尔可夫性，且对所有初始状态都保持一致。无论<math>s^{(t)}</math>是什么，<math>\{ s^{(t)}, s^{(t+1)} \}</math>投影到宏观空间上的<math>\{ A^{(t)}, A^{(t+1)} \}</math>的<math> P( A^{(t+1)} | A^{(t)} )</math>都保持一致。

从图3的成块划分的例子中，我们看到对于分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，成块的动力学TPM可以找到一个简化过程，而这个简化过程满足马尔可夫性，且对所有初始状态都保持一致。无论<math>s^{(t)}</math>是什么，<math>\{ s^{(t)}, s^{(t+1)} \}</math>投影到宏观空间上的<math>\{ A^{(t)}, A^{(t+1)} \}</math>的<math> P( A^{(t+1)} | A^{(t)} )</math>都保持一致。

第2组<math>A_2</math>的状态<math>s_4</math>到第2组<math>A_2</math>，<math>p_{s_4 \rightarrow A_2} = p_{A_2 \rightarrow A_2} = \sum_{s_m \in A_2} p_{s_4 \rightarrow s_m} = p_{s_4 \rightarrow s_4} = 0.7 </math>

第2组<math>A_2</math>的状态<math>s_4</math>到第2组<math>A_2</math>，<math>p_{s_4 \rightarrow A_2} = p_{A_2 \rightarrow A_2} = \sum_{s_m \in A_2} p_{s_4 \rightarrow s_m} = p_{s_4 \rightarrow s_4} = 0.7 </math>

<math>

<math>

\begin{aligned}

\begin{aligned}

这里我们就能看到，<math>p_{s_3 \rightarrow A_1} \neq p_{s_4 \rightarrow A_1}</math>，当同一组的两个状态<math>s_3</math>和<math>s_4</math>对其他组的转移概率不一样的话，我们无法确定<math>p_{A_2 \rightarrow A_1}</math>的取值是<math>p_{s_3 \rightarrow A_1}</math>或<math>p_{s_4 \rightarrow A_1}</math>。

这里我们就能看到，<math>p_{s_3 \rightarrow A_1} \neq p_{s_4 \rightarrow A_1}</math>，当同一组的两个状态<math>s_3</math>和<math>s_4</math>对其他组的转移概率不一样的话，我们无法确定<math>p_{A_2 \rightarrow A_1}</math>的取值是<math>p_{s_3 \rightarrow A_1}</math>或<math>p_{s_4 \rightarrow A_1}</math>。

如果我们强行按照这样来分组，假设<math>p_{A_2 \rightarrow A_1} = 0.6</math>，我们会发现这样的粗粒化结果违背了成块性一开始的定义（定义（2）），即粗粒化后的'''转移概率对所有的初始微观状态<math>\pi</math>都适用'''。因为当<math>\pi = s_4</math>的时候，<math>p_{A_2 \rightarrow A_1} = 0.6</math>这个转移概率就是错的，即使<math>\pi \neq s_4</math>，任何初始微观状态<math>\pi</math>都会在某时刻<math>n</math>达到<math>s_4</math>并导致转移概率出错。

如果我们强行按照这样来分组，假设<math>p_{A_2 \rightarrow A_1} = 0.6</math>，我们会发现这样的粗粒化结果违背了成块性一开始的定义2，即粗粒化后的'''转移概率对所有的初始微观状态<math>\pi</math>都适用'''。因为当<math>\pi = s_4</math>的时候，<math>p_{A_2 \rightarrow A_1} = 0.6</math>这个转移概率就是错的，即使<math>\pi \neq s_4</math>，任何初始微观状态<math>\pi</math>都会在某时刻<math>n</math>达到<math>s_4</math>并导致转移概率出错。

====一个更复杂的正例====

====一个更复杂的正例====

[[文件:马尔科夫链的粗粒化定义.png|缩略图|图5：粗粒化图例|替代=|500像素|无]]

[[文件:马尔科夫链的粗粒化定义.png|缩略图|图5：粗粒化图例|替代=|500像素|无]]

图（5）展示了从某个微观状态<math>s^{(t)}</math>出发，到达下一刻的宏观状态<math>A^{(t+1)}</math>的两条路径<ref name=":7">Coarse graining. ''Encyclopedia of Mathematics.'' URL: <nowiki>http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Coarse_graining&oldid=16170</nowiki></ref>：

图5展示了从某个微观状态<math>s^{(t)}</math>出发，到达下一刻的宏观状态<math>A^{(t+1)}</math>的两条路径<ref name=":7">Coarse graining. ''Encyclopedia of Mathematics.'' URL: <nowiki>http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Coarse_graining&oldid=16170</nowiki></ref>：

#先经过微观动力学达到<math>s^{(t+1)}</math>，再进行粗粒化得到<math>A^{(t+1)}</math>

#先经过微观动力学达到<math>s^{(t+1)}</math>，再进行粗粒化得到<math>A^{(t+1)}</math>

#先进行粗粒化得到<math>A^{(t)}</math>，再经过宏观动力学到达<math>A^{(t+1)}</math>

#先进行粗粒化得到<math>A^{(t)}</math>，再经过宏观动力学到达<math>A^{(t+1)}</math>

仍满足式子{{EquationNote|2}}的马尔科夫性约束。所以，对于<math>s_1</math>或者<math>s_2</math>项非零，而<math>s_3</math>和<math>s_4</math>项为零的初始状态分布<math>\pi</math>，<math>[[1, 2], [3, 4]]</math>是成块的。

仍满足式子{{EquationNote|2}}的马尔科夫性约束。所以，对于<math>s_1</math>或者<math>s_2</math>项非零，而<math>s_3</math>和<math>s_4</math>项为零的初始状态分布<math>\pi</math>，<math>[[1, 2], [3, 4]]</math>是成块的。

对于<math>s_3</math>和<math>s_4</math>项非零的初始状态分布<math>\pi</math>，<math>[[1, 2], [3, 4]]</math>分组不满足定义2。所以，该分组仅对某些初始状态分布成块，故为弱成块分组。

对于<math>s_3</math>和<math>s_4</math>项非零的初始状态分布<math>\pi</math>，<math>[[1, 2], [3, 4]]</math>分组不满足式子{{EquationNote|2}}。所以，该分组仅对某些初始状态分布成块，故为弱成块分组。

===精确成块性 Exact Lumpability===

===精确成块性 Exact Lumpability===

成块性是对第一步，即对<math>\Phi</math>的约束要求；而上面提到的宏观最大预测性、可交换性和一致性是对<math>P'</math>的约束。

成块性是对第一步，即对<math>\Phi</math>的约束要求；而上面提到的宏观最大预测性、可交换性和一致性是对<math>P'</math>的约束。

从前面的成块性公式{{EquationNote|2}}和例子中，我们可以直观地理解：当马尔科夫矩阵存在块状结构，或者状态明显可以被划分为几类时，根据这样的划分，该矩阵就是成块的。对于简单的<math>P</math>，如图（8）中的<math>\bar{P}</math>所示，我们能够根据上面的定理（1）很快的找出它的成块划分<math>\Phi</math>，并通过定义（3）迅速计算出对应的<math>P'</math>。

从前面的成块性公式{{EquationNote|2}}和例子中，我们可以直观地理解：当马尔科夫矩阵存在块状结构，或者状态明显可以被划分为几类时，根据这样的划分，该矩阵就是成块的。对于简单的<math>P</math>，如图8中的<math>\bar{P}</math>所示，我们能够根据上面的定理1很快的找出它的成块划分<math>\Phi</math>，并通过定义3迅速计算出对应的<math>P'</math>。

[[文件:Lump fig1.png|缩略图|图8：Zhang<ref name=":4" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是成块的马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|替代=|500像素|无]]

[[文件:Lump fig1.png|缩略图|图8：Zhang<ref name=":4" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是成块的马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|替代=|500像素|无]]

然而，在实际应用中，我们经常遇到的矩阵可能并不完美。例如，成块的矩阵的状态排序可能被打乱（如图（8）中的<math>P_1</math>），或者矩阵包含了如<math>P_2</math>的噪声（如图（8）中的<math>P</math>，<math>P = P_1 + P_2</math>，<math>P_1^TP_2 = 0</math>）。

然而，在实际应用中，我们经常遇到的矩阵可能并不完美。例如，成块的矩阵的状态排序可能被打乱（如图8中的<math>P_1</math>），或者矩阵包含了如<math>P_2</math>的噪声（如图8中的<math>P</math>，<math>P = P_1 + P_2</math>，<math>P_1^TP_2 = 0</math>）。

在这种情况下，我们通常面临的是像<math>P</math>这样的矩阵。我们既无法确定它是否成块，也无法决定它的划分，甚至不知道它的马尔科夫秩。

在这种情况下，我们通常面临的是像<math>P</math>这样的矩阵。我们既无法确定它是否成块，也无法决定它的划分，甚至不知道它的马尔科夫秩。