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熵的统计热力学定义以及其他热力学性质是后来发展起来的。这些观点认为，热力学性质是被系统的微观构成的运动的统计规律定义的。这个系统最开始是对一些经典粒子模拟分析得到的，如牛顿粒子组成的气体，随后发现在量子粒子中也成立（光子、声子、自旋等）。

熵的统计热力学定义以及其他热力学性质是后来发展起来的。这些观点认为，热力学性质是被系统的微观构成的运动的统计规律定义的。这个系统最开始是对一些经典粒子模拟分析得到的，如牛顿粒子组成的气体，随后发现在量子粒子中也成立（光子、声子、自旋等）。

[[用户:思无涯咿呀咿呀|思无涯咿呀咿呀]]（[[用户讨论:思无涯咿呀咿呀|讨论]]）经验上定义的热力学变量 a set of empirically defined thermodynamic variables[[用户:思无涯咿呀咿呀|思无涯咿呀咿呀]]（[[用户讨论:思无涯咿呀咿呀|讨论]]）

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由于后者在整个循环内都是有效的，这给了克劳修斯一个指示，即在循环的每个阶段，功和热将不相等，但是它们的差将是状态函数，该函数将在循环完成时消失。 状态函数被称为内部能量，它称为热力学的第一定律。<ref name="Clausius1867">{{cite book|author=Rudolf Clausius|title=The Mechanical Theory of Heat: With Its Applications to the Steam-engine and to the Physical Properties of Bodies|url=https://books.google.com/books?id=8LIEAAAAYAAJ|year=1867|publisher=J. Van Voorst|isbn=978-1-4981-6733-8|page=28}}</ref>

由于后者在整个循环内都是有效的，这给了Clausius一个指示，即在循环的每个阶段，功和热将不相等，但是它们的差将是状态函数，该函数将在循环完成时消失。状态函数被称为内部能量，它称为热力学的第一定律。<ref name="Clausius1867">{{cite book|author=Rudolf Clausius|title=The Mechanical Theory of Heat: With Its Applications to the Steam-engine and to the Physical Properties of Bodies|url=https://books.google.com/books?id=8LIEAAAAYAAJ|year=1867|publisher=J. Van Voorst|isbn=978-1-4981-6733-8|page=28}}</ref>

现在，使等式（1）等于等式（2）得到：

现在，使等式（1）等于等式（2）得到：

::<math> \frac{Q_\text{H}}{T_\text{H}}-\frac{Q_\text{C}}{T_\text{C}}=0 </math>，或者，<math> \frac{Q_\text{H}}{T_\text{H}}=\frac{Q_\text{C}}{T_\text{C}} </math>。

::<math> \frac{Q_\text{H}}{T_\text{H}}-\frac{Q_\text{C}}{T_\text{C}}=0 </math>，或者，<math> \frac{Q_\text{H}}{T_\text{H}}=\frac{Q_\text{C}}{T_\text{C}} </math>。

这意味着在卡诺循环的整个循环中都有一个守恒的状态函数。 克劳修斯称这种状态函数为熵。 可以看到，熵是通过数学而不是通过实验室结果发现的。 它是一种数学构造，没有简单的物理类比。 这使该概念有些模糊或抽象，类似于能量的概念如何产生。

这意味着在卡诺循环的整个循环中都有一个守恒的状态函数。 Clausius称这种状态函数为熵。 可以看到，熵是通过数学而不是通过实验室结果发现的。 它是一种数学构造，没有简单的物理类比。 这使该概念有些模糊或抽象，类似于能量的概念如何产生。

::<math> Q_\text{H}-Q_\text{C}<\left(1-\frac{T_\text{C}}{T_\text{H}}\right)Q_\text{H}</math>，或者，<math> Q_\text{C}>\frac{T_\text{C}}{T_\text{H}}Q_\text{H}</math>

::<math> Q_\text{H}-Q_\text{C}<\left(1-\frac{T_\text{C}}{T_\text{H}}\right)Q_\text{H}</math>，或者，<math> Q_\text{C}>\frac{T_\text{C}}{T_\text{H}}Q_\text{H}</math>

因此，比卡诺循环中更多的热量提供给冷库。 如果我们用两种状态的Si = Qi / Ti表示熵，则上述不等式可以写成熵减小的形式：

因此，在卡诺循环中更多的热量提供给冷库。 如果我们用两种状态的<math>S_\text{i} = Q_\text{i} / T_\text{i}<math> 表示熵，则上述不等式可以写成熵减小的形式：

::<math>S_\text{H}-S_\text{C}<0</math>，或者，<math>S_\text{H}<S_\text{C}</math>

::<math>S_\text{H}-S_\text{C}<0</math>，或者，<math>S_\text{H}<S_\text{C}</math>

卡诺循环和效率之所以有用，是因为它们定义了可能的功输出的上限以及任何经典热力学系统的效率。 可以从卡诺循环的角度分析其他循环，例如[https://en.wikipedia.org/wiki/Otto_cycle 奥托循环 Otto Cycle]， [https://en.wikipedia.org/wiki/Diesel_cycle 迪塞尔循环 Diesel Cycle ]和[https://en.wikipedia.org/wiki/Brayton_cycle 布雷顿循环 Brayton Cycle]。 任何将热量转换为功并且声称产生的效率高于卡诺效率的机器或过程都是不可发生的，因为它违反了热力学第二定律。 对于系统中极少数的粒子，必须使用统计热力学。 诸如光伏电池之类的设备的效率需要从量子力学的角度进行分析。

卡诺循环和卡诺效率之所以有用，是因为它们定义了可能的功输出的上限以及任何经典热力学系统的效率。 可以从卡诺循环的角度分析其他循环，例如[https://en.wikipedia.org/wiki/Otto_cycle 奥托循环 Otto Cycle]， [https://en.wikipedia.org/wiki/Diesel_cycle 迪塞尔循环 Diesel Cycle ]和[https://en.wikipedia.org/wiki/Brayton_cycle 布雷顿循环 Brayton Cycle]。 任何将热量转换为功并且声称产生的效率高于卡诺效率的机器或过程都是不可发生的，因为它违反了热力学第二定律。 对于系统中极少数的粒子，必须使用统计热力学。 诸如光伏电池之类的设备的效率需要从量子力学的角度进行分析。

===经典热力学===

===经典热力学===