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→TPM矩阵的近似动力学可逆性与因果涌现
==TPM矩阵的近似动力学可逆性与因果涌现==
==TPM矩阵的近似动力学可逆性与因果涌现==
纯粹的置换矩阵在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。考虑P的秩为r，当且仅当r<N（N为矩阵的维数）的时候，P是不可逆的；且P越退化对应着越小的r。然而，非退化（满秩）的矩阵P并不总是动力学可逆的，因为：
# 尽管<math>P^{-1}</math>存在，<math>P^{-1}</math>并不一定是满足归一化条件的合法TPM（即矩阵中每个元素都大于等于0，小于等于1，且每一行满足加和为1的条件）；
# 如前所述，若P满足动力学可逆性，则P必为置换矩阵。
所有置换矩阵的行向量都是独热向量。这一特性可以被矩阵P的[[弗罗贝尼乌斯范数]]（Frobenius norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是独热向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数找到P的近似动力学可逆性与矩阵奇异值之间的联系。
首先，矩阵的秩可以被写作：
<blockquote>
<math>
\begin{aligned}
r=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{0}
\end{aligned}
</math>
</blockquote>
其中<math>
\sigma_{i}
</math>是矩阵P的第i个奇异值，[math]N[/math]是马尔科夫链的状态数。
紧接着，矩阵的弗罗贝尼乌斯范数可以被写作：
<blockquote>
<math>\begin{aligned}
{||P||}_{F}^{2}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{2}
\end{aligned}
</math>
</blockquote>
这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和[[弗罗贝尼乌斯范数]]都与奇异值相联系。
由于绝大部分马尔科夫链的状态转移矩阵（TPM）都不是置换矩阵，所以我们需要一个指标来刻画一个TPM靠近可逆的置换矩阵程度的指标，这就是近似动力学可逆性。
由于绝大部分马尔科夫链的状态转移矩阵（TPM）都不是置换矩阵，所以我们需要一个指标来刻画一个TPM靠近可逆的置换矩阵程度的指标，这就是近似动力学可逆性。
假设马尔科夫链的TPM为P，奇异值为<math>
假设马尔科夫链的TPM为P，奇异值为<math>