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==高斯噪声迭代系统基于SVD的粗粒化策略==

==高斯噪声迭代系统基于SVD的粗粒化策略==

在得到基于奇异值的因果涌现之后，和TPM矩阵类似，我们也可以根据逆向动力学的协方差矩阵<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和正向动力学的协方差矩阵<math>Σ^{−1}</math>的奇异向量，指定在高斯迭代系统上的粗粒化策略，将高维的向量映射到低维空间。基于SVD的理论，<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>都是对称矩阵，因此我们可以直接得到SVD分解

在得到基于奇异值的因果涌现之后，和TPM矩阵类似，我们也可以根据逆向动力学的协方差矩阵<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和正向动力学的协方差矩阵<math>Σ^{−1}</math>的奇异向量，指定在高斯迭代系统上的粗粒化策略，将高维的向量映射到低维空间。基于SVD的理论，<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>都是对称矩阵，因此我们可以直接得到SVD分解

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<math>A^T\Sigma^{-1}A=USU^T

<math>A^T\Sigma^{-1}A=USU^T

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两部分，这样对于粗粒化策略的制定就变成了让<math>WU_1</math>,<math>WV_1</math>尽量接近单位矩阵,而让<math>WU_2</math>,<math>WV_2</math>尽量接近0。但是<math>U,V</math>并不是在所有系统重都能保证相等，所以我们就需要对两个矩阵的生成空间进行分类讨论。

两部分，这样对于粗粒化策略的制定就变成了让<math>WU_1</math>,<math>WV_1</math>尽量接近单位矩阵,而让<math>WU_2</math>,<math>WV_2</math>尽量接近0。但是<math>U,V</math>并不是在所有系统中都能保证相等，所以我们就需要对两个矩阵的生成空间进行分类讨论。

我们主要讨论两组生成空间

我们主要讨论两组生成空间

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其中<math>\Omega_{{\rm I}}</math>对应<math>U_1</math>和<math>V_1</math>生成空间的交空间，若粗粒化策略的几个维度从该空间生成，那么该空间中的奇异向量对应的奇异值都会被保留，不存在冲突。而<math>\Omega_{{\rm II}}</math>中的向量不与<math>U_2</math>和<math>V_2</math>正交，这意味着，在保留大于<math>\epsilon</math>的奇异值的同时，会有理论上应被舍弃的奇异值保留下来。由于<math>\Omega_{{\rm I}}</math>包含于<math>U_1</math>和<math>V_1</math>生成空间，所以他的维度可能会小于<math>r_\epsilon</math>，因此我们仍然需要从<math>\Omega_{{\rm II}}</math>中生成向量补全<math>W\in\mathcal{R}^{r_\epsilon\times n}</math>的维度。因此我们生成粗粒化策略的参数矩阵可以分为两步。

其中<math>\Omega_{{\rm I}}</math>对应<math>U_1</math>和<math>V_1</math>生成空间的交空间，若粗粒化策略的几个维度从该空间生成，那么该空间中的奇异向量对应的奇异值都会被保留，不存在冲突。而<math>\Omega_{{\rm II}}</math>中的向量不与<math>U_2</math>和<math>V_2</math>正交，这意味着，在保留大于<math>\epsilon</math>的奇异值的同时，会有理论上应被舍弃的奇异值保留下来。由于<math>\Omega_{{\rm I}}</math>包含于<math>U_1</math>和<math>V_1</math>生成空间，所以它的维度可能会小于<math>r_\epsilon</math>，因此我们仍然需要从<math>\Omega_{{\rm II}}</math>中生成向量补全<math>W\in\mathcal{R}^{r_\epsilon\times n}</math>的维度。因此我们生成粗粒化策略的参数矩阵可以分为两步。

===协同粗粒化===

===协同粗粒化===

===调和粗粒化===

===调和粗粒化===

由于<math>\Omega_{{\rm I}}</math>包含于<math>U_1</math>和<math>V_1</math>生成空间，所以他的维度<math>r_{{\rm I}}\leq r_\epsilon</math>，因此我们仍需要<math>r_{{\rm II}}= r_\epsilon-r_{{\rm I}}</math>个<math>\Omega_{{\rm II}}</math>中的向量来补全<math>W</math>，这里我们就可以尽量在包含于<math>\Omega_{{\rm II}}</math>中的向量对应的较大的奇异值被保留。我们可以将这些奇异值放入向量<math>\mathbf{S}=\{s_i,\kappa_j|u_i,v_j\in\Omega_2\}</math>中，并从大到小进行排列得到<math>Q=(q_i|q_i\in\mathbf{S})</math>后，取其中最大的<math>r_{{\rm II}}</math>个奇异值对应的奇异向量，并进行施密特正交化，得到<math>W\in\mathcal{R}^{r_\epsilon\times n}</math>矩阵的第二块

由于<math>\Omega_{{\rm I}}</math>包含于<math>U_1</math>和<math>V_1</math>生成空间，所以它的维度<math>r_{{\rm I}}\leq r_\epsilon</math>，因此我们仍需要<math>r_{{\rm II}}= r_\epsilon-r_{{\rm I}}</math>个<math>\Omega_{{\rm II}}</math>中的向量来补全<math>W</math>，这里我们就可以尽量在包含于<math>\Omega_{{\rm II}}</math>中的向量对应的较大的奇异值被保留。我们可以将这些奇异值放入向量<math>\mathbf{S}=\{s_i,\kappa_j|u_i,v_j\in\Omega_2\}</math>中，并从大到小进行排列得到<math>Q=(q_i|q_i\in\mathbf{S})</math>后，取其中最大的<math>r_{{\rm II}}</math>个奇异值对应的奇异向量，并进行施密特正交化，得到<math>W\in\mathcal{R}^{r_\epsilon\times n}</math>矩阵的第二块

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