更改

</math>

</math>

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此时<math>𝑋_𝑡</math>和<math>𝑋_{t+1}</math>可以相互建立一一映射。而<math>A</math>不可逆或存在噪声<math>\xi\sim\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>的情况下，会造成映射的不可逆，因此我们只能通过近似可逆性来度量以上两种情况的可逆性。我们可以发现，当噪声协方差同时满足<math>\Sigma\to 0</math>, <math>A^\dagger\Sigma(A^\dagger)^T\to 0</math>，即正向动力学和逆向动力学的噪声协方差矩阵均区域0的时候，整个动力学可以近似为<math>x_{t+1}=a_0+Ax_t+\varepsilon_t\to Ax_t+a_0</math>和<math>x_{t}=A^\dagger x_{t+1}-A^\dagger a_0-A^\dagger\varepsilon_t\to A^\dagger x_t-A^\dagger a_0</math>，此时<math>𝑋_𝑡</math>和<math>𝑋_{t+1}</math>之间的的条件概率分布可以写成狄拉克分布

此时<math>𝑋_𝑡</math>和<math>𝑋_{t+1}</math>可以相互建立一一映射。而<math>A</math>不可逆或存在噪声<math>\xi\sim\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>的情况下，会造成映射的不可逆，因此我们只能通过近似可逆性来度量以上两种情况的可逆性。我们可以发现，当噪声协方差同时满足<math>\Sigma\to 0</math>, <math>A^\dagger\Sigma(A^\dagger)^T\to 0</math>，即正向动力学和逆向动力学的噪声协方差矩阵均区域0的时候，整个动力学可以近似为<math>X_{t+1}=a_0+AX_t+\varepsilon_t\to AX_t+a_0</math>和<math>X_{t}=A^\dagger X_{t+1}-A^\dagger a_0-A^\dagger\varepsilon_t\to A^\dagger X_t-A^\dagger a_0</math>，此时<math>𝑋_𝑡</math>和<math>𝑋_{t+1}</math>之间的的条件概率分布可以写成狄拉克分布

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p(x_{t+1}|x_t)=\delta(x_{t+1}-Ax_t-a_0), p(x_t|x_{t+1})=\delta(x_t-A^\dagger x_{t+1}+A^\dagger a_0)

p(X_{t+1}|X_t)=\delta(X_{t+1}-AX_t-a_0), p(X_t|X_{t+1})=\delta(X_t-A^\dagger X_{t+1}+A^\dagger a_0)

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