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此外，在状态、变量较少，且转移概率矩阵有明显的规律可循时，我们可以相对容易地定义粗粒化策略并识别因果涌现。但面对情况复杂的实际系统时，例如生物系统，从可观测数据中辨别系统是否发生因果涌现是一个更为重要的问题。为此，Rosas等人提出[[基于信息分解的因果涌现理论]]，[[张江]]等人提出的[[基于奇异值分解的因果涌现理论]]以及[[张江]]等人还提出了一些自动识别涌现的神经网络计算方法，例如神经信息压缩方法[[NIS]]和基于此的改进方法[[NIS+]]，有兴趣的读者可以进一步查阅相关词条。

此外，在状态、变量较少，且转移概率矩阵有明显的规律可循时，我们可以相对容易地定义粗粒化策略并识别因果涌现。但面对情况复杂的实际系统时，例如生物系统，从可观测数据中辨别系统是否发生因果涌现是一个更为重要的问题。为此，Rosas等人提出[[基于信息分解的因果涌现理论]]，[[张江]]等人提出的[[基于奇异值分解的因果涌现理论]]以及[[张江]]等人还提出了一些自动识别涌现的神经网络计算方法，例如神经信息压缩方法[[NIS]]和基于此的改进方法[[NIS+]]，有兴趣的读者可以进一步查阅相关词条。

== 附录：由布尔网络动力学转换为马尔科夫链的TPM的代码 ==

== 由布尔网络动力学转换为马尔科夫链的TPM的代码 ==

在Hoel的原始论文<ref name="hoel_2013"/>中，所有的微观动力学都是针对布尔网络中的每个变量（即节点）定义其微观动力学机制完成的。而为了计算布尔网络的有效信息和因果涌现度量，我们必须要将这种微观动力学机制转变为系统整体的概率转移矩阵（即TPM）。因此，这里的一个关键问题是，如何将一个定义在局部变量上的动力学机制，转变为一个全局的TPM。这里给出一种一般性的算法：

在Hoel的原始论文<ref name="hoel_2013"/>中，所有的微观动力学都是针对布尔网络中的每个变量（即节点）定义其微观动力学机制完成的。而为了计算布尔网络的有效信息和因果涌现度量，我们必须要将这种微观动力学机制转变为系统整体的概率转移矩阵（即TPM）。因此，这里的一个关键问题是，如何将一个定义在局部变量上的动力学机制，转变为一个全局的TPM。这里给出一种一般性的算法：

同上有效信息计算中，[math]\tilde{X}_t[/math]和[math]\tilde{X}_{t+1}[/math]是经过粗粒化干预后的因果变量，CC对应的是最有效的干预下，因果变量之间互信息的最大值。

同上有效信息计算中，[math]\tilde{X}_t[/math]和[math]\tilde{X}_{t+1}[/math]是经过粗粒化干预后的因果变量，CC对应的是最有效的干预下，因果变量之间互信息的最大值。

=参考文献=

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<references/>

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