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因果效应度量 (查看源代码)

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\mathcal{J}=\frac{EI}{n}\approx \ln L - \frac{1}{2}\ln (2\pi e)+\frac{1}{n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\frac{1}{L^n}\cdot \ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| d\mathbf{x}

</math>

−

~~== 基于动力学可逆性的因果效应度量 ==~~

−

~~===严格动力学可逆===~~

−

[[张江]]团队发现EI实际上是对底层[[马尔科夫状态转移矩阵]]（TPM）的[[可逆性]]的一种刻画，于是尝试直接刻画这种[[马尔科夫链的动力学可逆性]]以替代EI<ref name=zhang_reversibility/>。核心定义如下：

−

~~对于给定的马尔可夫链<math>\chi</math>和对应的转移概率矩阵(TPM) P ，如果P同时满足：~~

−

~~# P是可逆矩阵，即存在矩阵<math>P^{-1}</math>，使得<math>PP^{-1}=I</math>，[math]I[/math]为单位矩阵；~~

−

~~# <math>P^{-1}</math>也是另一个马尔可夫链<math>\chi^{-1}</math>的有效TPM，~~

−

则<math>\chi</math>和P可以称为'''严格动力学可逆的'''。我们将这一性质称为[[动力学可逆性]]。因此，从某种程度上说，EI衡量的是马尔科夫链的一种[[动力学可逆性]]。

−

~~===近似动力学可逆===~~

−

[[排列置换矩阵]]是唯一一种能同时满足上面两个条件的矩阵。由于[[排列置换矩阵]]过于特殊，我们需要能够衡量一般的马尔科夫概率转移矩阵与排列置换矩阵的靠近程度，以度量其[[近似动力学可逆性]]。在文献<ref name=zhang_reversibility/>中，作者们提出了一种用矩阵的类[[Schatten范数]]来度量一个马尔科夫概率转移矩阵的[[近似动力学可逆性]]的方法，定义为：

−

~~<math>~~

−

~~\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}=|P|_{\alpha}^{\alpha}~~

−

~~</math>~~

−

这里，[math]|P|_{\alpha}[/math]为矩阵P的[[Schatten范数]]，[math]\Gamma_{\alpha}[/math]为[[近似动力学可逆性]]指标，[math]\sigma_i[/math]为概率转移矩阵P的奇异值，并且按照从大到小的顺序排列。

−

~~===基于动力学可逆性的因果效应指标===~~

−

~~在文献<ref name=zhang_reversibility/>中，作者们证明了EI与动力学可逆性[math]\Gamma_{\alpha}[/math]之间存在着一种近似的关系：~~

−

~~<math>~~

−

~~EI\sim \log\Gamma_{\alpha}~~

−

~~</math>~~

−

所以<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>也可以用于刻画动力学的因果效应强度。关于动力学可逆性的进一步讨论和说明，请参考词条：[[基于可逆性的因果涌现理论]]

== 因果效应度量中的因果基元 ==

刘易明

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