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马尔科夫链 (查看源代码)

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→‎连续时间马尔科夫链

第487行：第487行：

===基本性质===

−

我们以一个具体的例子说明连续马尔科夫链的各个性质。考虑一个工业设备系统，其状态空间为<math> S = \{\text{运行}(W), \text{待机}(S), \text{故障}(F)\}</math>，它的转移速率矩阵如下：

−

~~<math>~~

−

~~Q = \begin{pmatrix}~~

−

~~-(\lambda + \alpha) & \alpha & \lambda \\~~

−

~~\beta & -(\beta + \gamma) & \gamma \\~~

−

~~0 & 0 & 0~~

−

~~\end{pmatrix}~~

−

~~</math>~~

−

~~转移速率矩阵的具体含义将在后面介绍，其中各个参数的含义为：~~

−

~~{运行(W) → 待机(S)}：速率 <math> \alpha </math>（主动进入节能模式）~~

−

~~{运行(W) → 故障(F)}：速率 <math> \lambda </math>（突发故障）~~

−

~~{待机(S) → 运行(W)}：速率 <math> \beta </math>（恢复工作）~~

−

~~{待机(S) → 故障(F)}：速率 <math> \gamma </math>（待机期间故障）~~

−

~~{故障(F)}：吸收状态，无法转移出去。~~

====历史遗忘性====

−

在我们的例子中。假设设备在时间<math>t=5</math>处于运行状态（<math> X(5)=W </math>），则无论设备此前是直接从待机恢复（<math> S \to W </math>）还是从未待机过，未来的状态转移仅依赖当前状态 <math> W </math>，具体表现为从 <math> t=5 </math> 开始的转移概率仅由 <math> Q </math> 矩阵的 <math> W </math>-行决定。即对于<math>t>0</math>，已知<math>X(t)=i</math>的条件下，将来随机过程<math>\{X(u)|u>t\}</math>与过去随机过程<math>\{X(v)|0\leq v<t\}</math>独立。

+

与离散情形中一样，CTMC具有历史遗忘性。即对于<math>t>0</math>，已知<math>X(t)=i</math>的条件下，将来随机过程<math>\{X(u)|u>t\}</math>与过去随机过程<math>\{X(v)|0\leq v<t\}</math>独立。

====时齐性====

−

我们给出的例子具有时齐性，固定起始状态为W和结束状态为S，从<math>t=0</math>到<math>t=2</math>：<math>\mathbb{P}(X(2)=S \mid X(0)=W) = p_{WS}</math>与从<math>t=3</math>到<math>t=5</math>：<math>\mathbb{P}(X(5)=S \mid X(3)=W) = p_{WS}(2)</math>的概率是相同的。和离散时间马尔科夫链相同，我们定义：

+

和离散时间马尔科夫链相同，我们定义：

<math>\mathbb{P}(X(t+s)=j|X(s)=i)=\mathbb{P}(X(t)=j|X(0)=i),s,t\geq 0</math>

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