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可以证明，这样的粗粒化方案可以保证让粗粒化操作和时间演化操作具有可交换的性质（证明可以参考<ref name="reversibility"/>）。

可以证明，这样的粗粒化方案可以保证让粗粒化操作和时间演化操作具有可交换的性质（证明可以参考<ref name="reversibility"/>）。

==与基于最大化有效信息的因果涌现的近似关系==

==与基于最大化有效信息的因果涌现的关系==

上述有关因果涌现的定义以及相应的基于动力学可逆性的合理性来源于这套SVD方案定义的因果涌现与最大化有效信息的因果涌现定义的密切关系，我们可以证明，要想获得最大化有效信息的粗粒化策略也近似等价于是向最大奇异值对应的奇异向量方向投影的策略。在[[基于有效信息的因果涌现理论|Erik Hoel因果涌现理论]]的框架内，给定马尔可夫动力学系统的因果涌现的大小依赖于粗粒化策略的选择，可以通过宏观动力学的EI最大化寻找最优的粗粒化策略。由于对于离散的马尔可夫链来说，粗粒化策略往往都是比较严格的0或1构成的向量，因此并不能简单地根据奇异向量来直接投影，但是如果粗粒化策略尽可能地与最大的几个奇异向量平行，那么就可以让粗粒化后动力学的EI尽可能更大，因此最大化EI的必要条件近似可以认为就是往最大奇异值对应的奇异向量空间做投影。下面给出较为严格的推导：

上述有关因果涌现的定义以及相应的基于动力学可逆性的合理性来源于这套SVD方案定义的因果涌现与最大化有效信息的因果涌现定义的密切关系，我们可以证明，要想获得最大化有效信息的粗粒化策略也近似等价于是向最大奇异值对应的奇异向量方向投影的策略。在[[基于有效信息的因果涌现理论|Erik Hoel因果涌现理论]]的框架内，给定马尔可夫动力学系统的因果涌现的大小依赖于粗粒化策略的选择，可以通过宏观动力学的EI最大化寻找最优的粗粒化策略。由于对于离散的马尔可夫链来说，粗粒化策略往往都是比较严格的0或1构成的向量，因此并不能简单地根据奇异向量来直接投影，但是如果粗粒化策略尽可能地与最大的几个奇异向量平行，那么就可以让粗粒化后动力学的EI尽可能更大，因此最大化EI的必要条件近似可以认为就是往最大奇异值对应的奇异向量空间做投影。下面给出较为严格的推导：