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==因果涌现：动力学可逆性 Dynamical Reversibility==

==因果涌现：动力学可逆性 Dynamical Reversibility==

动力学可逆性相关详情请参照[[基于可逆性的因果涌现理论]]词条。

[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]的新框架，提出了近似动力学可逆性（<math>\Gamma_{\alpha}</math>）的概念，用于量化[[马尔科夫动力学]]接近可逆动力学的程度<ref name="reversibility">Zhang, J., Tao, R., Leong, K.H. et al. Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence based on SVD. npj Complex 2, 3 (2025).</ref>。

[[因果涌现]]（causal emergence）是指动力系统中的一类特殊的[[涌现]]现象，即系统在宏观尺度会展现出更强的因果特性。特别的，对于一类[[马尔科夫动力系统]]来说，在对其状态空间进行适当的[[粗粒化]]以后，所形成的宏观动力学会展现出比微观更强的因果特性——即更大的[[有效信息]]，那么我们称该系统发生了因果涌现<ref name=":0">Hoel E P, Albantakis L, Tononi G. Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences, 2013, 110(49): 19790-19795.</ref><ref name=":1">Hoel E P. When the map is better than the territory[J]. Entropy, 2017, 19(5): 188.</ref>。2013年，Hoel等人<ref name=":0"></ref>最早提出了[[基于有效信息的因果涌现理论]]，该理论利用[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）来度量一个动力学的[[因果效应]]，并用这一度量来量化复杂系统中的涌现现象。2020年，Rosas等<ref name=":rosas">Rosas F E, Mediano P A, Jensen H J, et al. Reconciling emergences: An information-theoretic approach to identify causal emergence in multivariate data[J]. PLoS computational biology, 2020, 16(12): e1008289.</ref>又从[[信息论|信息理论]]视角出发，提出一种基于[[信息分解]]方法的[[Rosas的因果涌现理论|因果涌现理论]]，该理论用[[协同信息]]或者[[特有信息]]来定量刻画涌现。2023年，Barnett等人<ref name=":seth">Barnett L, Seth AK. Dynamical independence: discovering emergent macroscopic processes in complex dynamical systems. Physical Review E. 2023 Jul;108(1):014304.</ref>基于[[转移熵]]，通过判断宏观动力学与微观动力学的解耦程度来判断涌现的发生，将因果涌现刻画为宏观的变量与微观的变量相互独立的现象。

该指标与[[有效信息]]具有高度的相关性，因而也可以用于刻画动力学的[[因果效应强度]]。基于可逆性的因果涌现理论与已有的其他因果涌现理论最大的区别就是不需要指定粗粒化策略，仅从马尔科夫转移矩阵的奇异值谱就能判断因果涌现的发生，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''（clear causal emergence）和'''模糊因果涌现'''（vague causal emergence）的概念，在一定程度上规避了因果涌现结果依赖于粗粒化策略的问题和最大化有效信息的难以优化求解的问题。其次，这套理论指出一个动力系统的因果涌现特性仅仅是系统线性化算符的奇异值谱决定的，因而是一套更加反映系统动力学特性本身的因果涌现理论。相关详情请参照[[基于可逆性的因果涌现理论]]词条。

然而，现有的[[因果涌现]]理论存在着一定的局限性。例如，基于[[有效信息的因果涌现理论]]是一个依赖于粗粒化方案的理论，不同的粗粒化策略会得到完全不同的因果涌现判断结果。尽管这一局限可以通过最大化有效信息<ref name=":maxEI">Mingzhe Yang, Zhipeng Wang, Kaiwei Liu, et al. Finding emergence in data by maximizing effective information. National Science Review, 2024, nwae279</ref>选取粗粒化策略得到一定程度的解决，但是该优化问题还是很难求解。Rosas等人提出了用[[协同信息]]量化涌现的方法<ref name=":rosas" />，但是这种计算涉及到多个变量的所有组合，因而计算量会随着变量数的增加而呈现指数增长。Rosas进一步提出了近似计算方案，但是该方法与Erik Hoel的因果涌现理论一样，需要事先指定粗粒化方案或涌现变量<ref name=":rosas" />。同样地，Seth等人更早提出的用[[格兰杰因果]]量化涌现理论也需要在粗粒化方案给定的情况下展开讨论<ref name=":seth"/>。对于粗粒化方案的过分依赖会使得这些量化涌现理论在不同程度上依赖于观察者的粗粒化策略，因而不能完全反映系统动力学的性质。那么，是否存在着一种不依赖于粗粒化方案的因果涌现理论呢？

===定义===

对于给定的马尔可夫链<math>\chi</math>和对应的'''转移概率矩阵(Transitional Probability Matrix，简称TPM)''' P ，如果P同时满足：

对于给定的马尔可夫链<math>\chi</math>和对应的'''转移概率矩阵(Transitional Probability Matrix，简称TPM)''' P ，如果P同时满足：

# P是可逆矩阵，即存在矩阵<math>P^{-1}</math>，使得<math>PP^{-1}=I</math>，[math]I[/math]为单位矩阵；  

# P是可逆矩阵，即存在矩阵<math>P^{-1}</math>，使得<math>PP^{-1}=I</math>，[math]I[/math]为单位矩阵；  

# <math>P^{-1}</math>也是另一个马尔可夫链<math>\chi^{-1}</math>的有效TPM，

# <math>P^{-1}</math>也是另一个马尔可夫链<math>\chi^{-1}</math>的有效TPM，

则<math>\chi</math>和P可以称为'''严格动力学可逆的'''。  

则<math>\chi</math>和P可以称为'''严格动力学可逆的'''。  

所谓的[[置换矩阵]]是指每一个行向量都是独热向量（one-hot vector，即只有一个元素是1，其余元素均为零的向量），每两个行向量都不相同。

关于动力学可逆性，我们有如下定理：对于一个给定的马尔科夫链<math>\chi</math>和对应的TPM P，'''当且仅当P是[[置换矩阵]](Permutation Matrix)的时候，P是严格动力学可逆的。'''所谓的[[置换矩阵]]是指每一个行向量都是独热向量（one-hot vector，即只有一个元素是1，其余元素均为零的向量），每两个行向量都不相同。

考虑P的秩为r，当且仅当r<N（N为矩阵的维数）的时候，P是不可逆的；且P越退化对应着越小的r。然而，'''非退化（满秩）的矩阵P并不总是动力学可逆的'''，因为：

<math>X_{𝑡+1} = a_0 + 𝐴⋅𝑋_𝑡 +\xi_𝑡

# 尽管<math>P^{-1}</math>存在，<math>P^{-1}</math>并不一定是满足归一化条件的合法TPM（即矩阵中每个元素都大于等于0，小于等于1，且每一行满足加和为1的条件）；

# <math>A</math>是可逆矩阵，即存在矩阵<math>A^{-1}</math>，使得<math>AA^{-1}=I</math>，[math]I[/math]为单位矩阵；

# 如前所述，若P满足动力学可逆性，则P必为置换矩阵。

# 正逆向动力学协方差矩阵满足<math>(𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴)\to 0, Σ\to 0</math>；

所有置换矩阵的行向量都是独热向量。这一特性可以被矩阵P的[[弗罗贝尼乌斯范数]]（Frobenius norm，F-norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是独热向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数找到P的近似动力学可逆性与矩阵奇异值之间的联系。  

 

 

 

所有置换矩阵的行向量都是独热向量。这一特性可以被矩阵P的[[弗罗贝尼乌斯范数]]（Frobenius norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是独热向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数找到P的近似动力学可逆性与矩阵奇异值之间的联系。  

首先，矩阵的秩可以被写作：

首先，矩阵的秩可以被写作：

</math>是矩阵P的第i个奇异值，[math]N[/math]是马尔科夫链的状态数。

</math>是矩阵P的第i个奇异值，[math]N[/math]是马尔科夫链的状态数。

<blockquote>

<blockquote>

<math>\begin{aligned}

<math>\begin{aligned}

</math>

</math>

</blockquote>

</blockquote>

由于绝大部分马尔科夫链的状态转移矩阵（TPM）都不是置换矩阵，所以我们需要一个指标来刻画一个TPM靠近可逆的置换矩阵程度的指标，这就是近似动力学可逆性。

由于绝大部分马尔科夫链的状态转移矩阵（TPM）都不是置换矩阵，所以我们需要一个指标来刻画一个TPM靠近可逆的置换矩阵程度的指标，这就是近似动力学可逆性。

</math>

</math>

</blockquote>

</blockquote>

其中<math>

其中<math>\alpha\in(0,2)</math>是参数。实际上，当<math>\alpha\ge1</math>时，<math>\Gamma_{\alpha}</math>是P的[[沙滕范数]]（Schatten norm）；当<math>0<\alpha<1</math>时，<math>\Gamma_{\alpha}</math>是P的准范数（quasinorm）<ref>Schatten norm from Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Schatten norm</ref><ref>Recht, B., Fazel, M., Parrilo, P.A.: Guaranteed minimum-rank solutions of linear matrix equations via nuclear norm minimization. SIAM review 52(3), 471–501 (2010)</ref><ref>Chi, Y., Lu, Y.M., Chen, Y.: Nonconvex optimization meets low-rank matrix factorization: An overview. IEEE Transactions on Signal Processing 67(20), 52395269 (2019)</ref><ref name="Cui">Cui, S., Wang, S., Zhuo, J., Li, L., Huang, Q., Tian, Q.: Towards discriminability and diversity: Batch nuclear-norm maximization under label insufficient situations. In: Proceedings of the IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, pp. 3941–3950 (2020)</ref>。使用这个定义来刻画近似动力学可逆性是合理的，因为完全动力学可逆性可以通过最大化<math>\Gamma_{\alpha}</math>来得到。我们可以证明如下结论：对于任意<math>\alpha\in(0,2)</math>，<math>\Gamma_{\alpha}</math>的最大值是N，当且仅当P是置换矩阵的时候能取到该最大值。

\alpha\in(0,2)

</math>是参数。

 

实际上，当<math>

\alpha\ge1

</math>时，<math>

\Gamma_{\alpha}

</math>是P的[[沙滕范数]]（Schatten norm）；当<math>

0<\alpha<1

</math>时，<math>

\Gamma_{\alpha}

</math>是P的准范数（quasinorm）<ref>Schatten norm from Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Schatten norm</ref><ref>Recht, B., Fazel, M., Parrilo, P.A.: Guaranteed minimum-rank solutions of linear matrix equations via nuclear norm minimization. SIAM review 52(3), 471–501 (2010)</ref><ref>Chi, Y., Lu, Y.M., Chen, Y.: Nonconvex optimization meets low-rank matrix factorization: An overview. IEEE Transactions on Signal Processing 67(20), 52395269 (2019)</ref><ref name="Cui">Cui, S., Wang, S., Zhuo, J., Li, L., Huang, Q., Tian, Q.: Towards discriminability and diversity: Batch nuclear-norm maximization under label insufficient situations. In: Proceedings of the IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, pp. 3941–3950 (2020)</ref>。使用这个定义来刻画近似动力学可逆性是合理的，因为完全动力学可逆性可以通过最大化<math>\Gamma_{\alpha}</math>来得到。

 

 

我们可以证明如下结论：对于任意<math>\alpha\in(0,2)</math>，<math>\Gamma_{\alpha}</math>的最大值是N，当且仅当P是置换矩阵的时候能取到该最大值。