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'''基于协同信息的因果涌现定义'''：假设系统当前时刻的微观态 <math>X_t</math> 和下一时刻的微观态 <math>X_{t+1}</math>，则二者之间的[[协同信息]] <math>Syn^{(k)}(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>定义为对该系统因果涌现的量化指标，其中<math>Syn^{(k)}(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>指的是系统内任何大于等于k的子集所能产生的所有协同效用的总效果。且若该协同信息大于零，则先前时刻与后续时刻变量之间存在不可约的协同效应（irreducible synergy），即系统发生因果涌现。

'''基于协同信息的因果涌现定义'''：假设系统当前时刻的微观态 <math>X_t</math> 和下一时刻的微观态 <math>X_{t+1}</math>，定义指标 <math>Syn^{(k)}(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>为对该系统因果涌现的量化指标，其中<math>Syn^{(k)}(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>指的是系统内任何大于等于k的子集所能产生的所有协同效用的总效果。且若该信息大于零，则先前时刻与后续时刻变量之间存在不可约的协同效应（irreducible synergy），即系统发生因果涌现。

'''编者注：''' 此处原文<ref name=":5" />作者的数学表述有歧义，因果涌现指标<math>Syn^{(k)}(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>指的是系统内任何大于等于k的子集所能产生的所有协同效用的总效果，而非PID框架中的特定协同原子。在系统只包含两个微观变量，且k=1的情况下，该定义等价于两源变量系统的协同信息。以三变量系统为例，当源变量是当前时刻三个微观变量，目标变量为下一时刻联合变量时，系统的信息分解晶格图如下所示。对于信息分解框架，三变量对自身联合变量的协同信息应当为下图中的<math>\{123\}</math>，但是该定义实际上应当包含下图中的粉色区域所有晶格。

'''编者注：''' 因果涌现指标<math>Syn^{(k)}(X_t^1,...,X_t^n;X_{t+1})>0</math>指的是系统内任何大于等于k的子集所能产生的所有协同效用的总效果，而非PID框架中的特定协同信息原子。在系统只包含两个微观变量，且k=1的情况下，该定义等价于两源变量系统的协同信息。以三变量系统为例，当源变量是当前时刻三个微观变量，目标变量为下一时刻联合变量时，系统的信息分解晶格图如下所示。对于信息分解框架，三变量对自身联合变量的协同信息应当为下图中的<math>\{123\}</math>，但是该定义实际上应当包含下图中的粉色区域所有晶格。

[[文件:截屏2025-05-24 下午7.21.32.png|替代=|无框|255x255像素|编者注：此图中粉色区域对应因果涌现定义的协同总量。]]

[[文件:截屏2025-05-24 下午7.21.32.png|替代=|无框|255x255像素|编者注：此图中粉色区域对应因果涌现定义的协同总量。]]