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==历史发展==

==历史发展==

1906年，俄罗斯数学家Andrey Andreyevich Markov在研究大数定律时，首次定义了离散随机序列在给定现在的条件下，过去与未来的条件独立性。

1906年，俄罗斯数学家Andrey Andreyevich Markov在研究大数定律时，首次定义了离散随机序列在给定现在的条件下，过去与未来的条件独立性。

<ref name=":3">Markov A A．Rasprostranenie zakona bol’shih chisel na velichiny, zavisyaschie drug ot druga．Izvestiya Fiziko-matematicheskogo obschestva pri Kazanskom universitete, 1906, 15: 135-156.</ref>。这个性质后来被称为马尔科夫性，满足这个性质的离散随机过程被称为马尔科夫链。随后，Andrey Markov基于普希金的长诗《叶甫盖尼・奥涅金》研究了俄语字母序列上的马尔科夫链及其极限分布<ref name=":4">Markov A A. Issledovanie statističeskich zakonov vjumel’nogo jazika (Analysis of statistical laws in the verse language). Trudy Imperatorskogo S.-Peterburgskogo Mineralogičeskogo Obščestva, 2nd series, 1913, 42, 153–162.</ref>。1931年，David George Kendall等人将指标集合推广为连续时间并建立了相应理论，其中包括任意时间转移概率的计算。<ref name=":5">Kendall D G, Batchelor G K, Bingham N H, Hayman W K, Hyland J M E, Lorentz G G, Moffatt H K, Parry W, Razborov A A, Robinson C A and Whittle P. Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987). Bulletin of the London Mathematical Society, 1990, 22(1): 31-100.</ref>。

<ref name=":3">Markov A A．Rasprostranenie zakona bol’shih chisel na velichiny, zavisyaschie drug ot druga．Izvestiya Fiziko-matematicheskogo obschestva pri Kazanskom universitete, 1906, 15: 135-156.</ref>。这个性质后来被称为马尔科夫性，满足这个性质的离散随机过程被称为马尔科夫链。随后，Andrey Markov基于普希金的长诗《叶甫盖尼・奥涅金》研究了俄语字母序列上的马尔科夫链及其极限分布<ref name=":4">Markov A A. Issledovanie statističeskich zakonov vjumel’nogo jazika (Analysis of statistical laws in the verse language). Trudy Imperatorskogo S.-Peterburgskogo Mineralogičeskogo Obščestva, 2nd series, 1913, 42, 153–162.</ref>。1931年，David George Kendall等人将指标集合推广为连续时间并建立了相应理论，其中得到了著名的Chapman-Kolmogorov方程。<ref name=":5">Kendall D G, Batchelor G K, Bingham N H, Hayman W K, Hyland J M E, Lorentz G G, Moffatt H K, Parry W, Razborov A A, Robinson C A and Whittle P. Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987). Bulletin of the London Mathematical Society, 1990, 22(1): 31-100.</ref>。

==离散（或连续）时间马尔科夫链的定义==

==离散（或连续）时间马尔科夫链的定义==