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→尺度闭合性
===单尺度因果态===
<math>s_{\leq t} \equiv s_{\leq t'}\ \ \text{iff}\ \ p(s_{\gt t}| s_{\leq t}) = p(s_{\gt t'}| s_{\leq t'}) </math>
因果态是计算力学中的一个概念。它的意思是说，当我们在一个时序系统中，我们想要有一个ϵ-machine（ϵ-机器），能够根据当前时间步的状态和历史记忆，来预测未来状态。
无论系统是确定的或概率生成的，当我们已知t时刻的状态和历史记忆时，我们能够预测未来状态的轨迹 <math>p(X_{\gt t}| X_{\leq t}) </math>。而不同时刻，t和t'的状态和历史记忆虽然不完全一样，但是他们可能会导致同样的未来状态，<math>p(X_{\gt t}| X_{\leq t}) = p(X_{\gt t'}| X_{\leq t'}) </math>。所以，计算力学中把这些具有相同未来的t时刻划为等价euqivalent的状态，即
<math>x_{\leq t} \equiv x_{\leq t'}\ \ \text{iff}\ \ p(x_{\gt t}| x_{\leq t}) = p(x_{\gt t'}| x_{\leq t'}) </math>
并定义因果态，
并定义因果态，
<math>E = \{E_t\}_{t \in \mathbb{N} }, E_t = \epsilon( s_{\leq t} ) </math>
<math>E = \{E_t\}_{t \in \mathbb{N} }, E_t = \epsilon( X_{\leq t} ) </math>
所以，ϵ-机器的工作是根据当前状态和历史记忆而判断t时刻系统处于哪个因果态，并根据该因果态进行未来轨迹预测。
所以，ϵ-机器的工作是根据当前状态和历史记忆而判断t时刻系统处于哪个因果态，并根据该因果态进行未来轨迹预测。
我们可以从最小解释模型的角度出发来理解因果态。最小解释模型是指，我们要如何去用最简洁的宏观状态来解释和描述系统发生的现象，而且这种解释模型要在微观层面扰动时保持‘稳定’。所以它追求的是两方面：首先需要稳定，其次尺度越高越好。而这个宏观状态就是因果态。
===跨尺度因果态===
设我们对微观动力学 <math>X_t</math> 粗粒化成宏观动力学 <math>Z_t = f(X_t)</math>，<math>f</math> 为粗粒化函数。刚才的ϵ-机器只能处理在 <math>X</math> 空间上单一尺度的因果态，而作者们提出了另一种机器，υ-machine（υ-机器）来尝试定义跨尺度的因果态和计算机器。他们把因果态定义中的未来状态从微观的 <math>X</math> 改为宏观的 <math>Z</math>，并定义微观状态 <math>X</math> 中的等价关系为
<math>x_{\leq t} \equiv x_{\leq t'}\ \ \text{iff}\ \ p(z_{\gt t}| x_{\leq t}) = p(z_{\gt t'}| x_{\leq t'}) </math>
也就是说，υ-机器的目标不再是预测 <math>X</math> 的未来轨迹，而是其粗粒化后的 <math>Z</math> 的未来轨迹，并把拥有同样 <math>p(z_{\gt t}| x_{\leq t})</math> 的<math>x_{\leq t}</math> 和 <math>x_{\leq t'}</math> 定义为υ-机器的因果态 <math>U</math>：
<math>U = \{U_t\}_{t \in \mathbb{N} }, U_t = υ( X_{\leq t} ) </math>
它的意义是什么呢？作者给出的解释是，υ-机器的因果态是一个最优的信息瓶颈：υ-机器是一种对 <math>x_{\leq t}</math> 粒度最粗的并满足对 <math>z_{\gt t}</math>的最大预测性的粗粒化方案。
所以，我们现在有三种机器：
# 微观动力学 <math>X_t</math> 本身的ϵ-机器，因果态为 <math>E</math>；
# 宏观动力学 <math>Z_t</math> 本身的ϵ-机器，因果态为 <math>E'</math>；
# 微观与宏观动力学 <math>Z_t = f(X_t)</math> 之间的υ-机器，因果态为<math>U</math>；
这三种机器的因果态有什么区别呢？首先，<math>U_t</math> 要比 <math>E'_t</math> 更强，因为后者只包括了宏观的信息，而前者同时包括了宏观和微观的信息。其次，<math>E_t</math> 要比 <math>U_t</math> 更强，因为 <math>U_t</math> 只保留了宏观的最大预测性，而 <math>E_t</math> 能保留微观的最大预测性（同时因为我们知道 <math>f</math> ，所以 <math>E_t</math> 也能保留宏观最大预测性）。
了解了因果态的定义后，我们就能逐个了解这篇文章中的三种闭合定义。
了解了因果态的定义后，我们就能逐个了解这篇文章中的三种闭合定义。
===因果闭合===
===因果闭合===
因果闭合的定义为：<math>Z_t</math> 的ϵ-机器 与 <math>Z_t = f(X_t)</math> 之间的υ-机器 之间存在等价关系，即 <math>E'</math> 和 <math>U</math> 之间存在双射bijective投影关系（即两个空间内的因果态分组相互一一对应）。
在这种情况下，不同 <math>X_t</math> 对 <math>Z</math> 轨迹预测的差异也会在 <math>Z_t</math> 上反映出来。也就是说，这些差异在粗粒化 <math>f</math> 过程中会被完全保留，不会被更改或抹除。
当我们对 <math>Z</math> 进行干预的时候，微观 <math>X</math> 的状态也会跟着改变，就像当我们加热了一锅水的时候，其中的水分子的能量也会改变。因果闭合的情况是指，对 <math>Z</math>空间 进行的干预影响到 <math>X</math>空间时，按照 <math>X</math> 的动力学进行演化后进行粗粒化的 <math>Z</math>，与直接在 <math>Z</math> 空间上进行演化没有区别。
这说明了，当我们对 <math>Z</math> 进行干预的时候，仅凭 <math>Z</math> 自身的动力学就能正确的演化，不用再回到微观 <math>X</math> 层溯源。所以这就是宏观和微观之间因果闭合了，即宏观动力学在因果性上能做到独立的演化。
===信息闭合===
上面所述的预测性可以写成信息论的形式。
=划分方法=
=划分方法=