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→尺度闭合性
我们能够了解一些关于它们的推断。
我们能够了解一些关于它们的推断。
'''推断1'''：微观 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 对宏观 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 提供的信息量 等于 υ-机器的因果态 <math>U_t</math> 提供的信息量，因为
<math>I(\overleftarrow{X_t}; \overrightarrow{Z_t})
<math>I(\overleftarrow{X_t}; \overrightarrow{Z_t})
'''推断2'''：υ-机器的因果态 <math>U_t</math> 对宏观 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 提供的信息量 大于等于 宏观 ϵ-机器的因果态 <math>E'_t</math>。证明如下：
首先，<math>I(E'_t ; \overrightarrow{Z_t}) = I( \overleftarrow{Z_t} ; \overrightarrow{Z_t})</math>；其次，<math>I(U_t ; \overrightarrow{Z_t}) = I( \overleftarrow{X_t} ; \overrightarrow{Z_t})</math>；
首先，<math>I(E'_t ; \overrightarrow{Z_t}) = I( \overleftarrow{Z_t} ; \overrightarrow{Z_t})</math>；其次，<math>I(U_t ; \overrightarrow{Z_t}) = I( \overleftarrow{X_t} ; \overrightarrow{Z_t})</math>；
这说明了，宏观的 <math>\overleftarrow{Z_t}</math> 和微观的 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 给 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 提供的信息量是一样的。所以，<math>\overleftarrow{X_t}</math> 并不会给 <math>\overrightarrow{Z_t}</math>提供额外的信息量和额外的预测性。
这说明了，宏观的 <math>\overleftarrow{Z_t}</math> 和微观的 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 给 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 提供的信息量是一样的。所以，<math>\overleftarrow{X_t}</math> 并不会给 <math>\overrightarrow{Z_t}</math>提供额外的信息量和额外的预测性。
虽然定义方式不一样，但是我们不难看出，根据跨尺度因果态介绍中的推断2，因果闭合和信息闭合这两个对 <math>Z_t = f(X_t)</math> 的条件是等价的：由于<math>I(U_t ; \overrightarrow{Z_t}) = I( I(E'_t ; \overrightarrow{Z_t})</math>，所以<math>I(U_t ; \overrightarrow{Z_t}) = I( \overleftarrow{X_t}; \overrightarrow{Z_t}) = I( \overleftarrow{Z_t} ; \overrightarrow{Z_t}) = I(E'_t ; \overrightarrow{Z_t})</math>。
而且，
<math>
\begin{aligned}
I(\overrightarrow{Z_t}; \overleftarrow{X_t} | \overleftarrow{Z_t})
& = I(\overrightarrow{Z_t}, \overleftarrow{X_t} ; \overleftarrow{Z_t}) - I(\overrightarrow{Z_t} ; \overleftarrow{Z_t}) \\
& = I(\overleftarrow{X_t} ; \overleftarrow{Z_t}) - I(\overrightarrow{Z_t} ; \overleftarrow{Z_t}) \\
& = 0
\end{aligned}
</math>
作者们<ref name=":21" />认为，当使用 <math>Z_t</math> 来预测 <math>Z_{t+1}</math> 时，可以拆分为两步：先利用宏观 <math>Z_t</math> 推断微观 <math>X_t</math>，再利用微观 <math>X_t</math> 估算宏观 <math>Z_{t+1}</math>。所以，
'''推断1'''：当一个马尔科夫链 <math>X_t</math> 存在粗粒化函数 <math>Z_t=f(X_t)</math>，而 <math>X_t</math> 对 <math>f</math> 强成块时，<math>Z_t</math> 满足因果闭合/计算闭合。（但是满足因果闭合/计算闭合的 <math>Z_t=f(X_t)</math> 不一定都是强成块的，详情请参考论文<ref name=":21" />反例6）。证明如下：
<math>
<math>
& = H(\overrightarrow{Z_t} | \overleftarrow{Z_t}) - H(\overrightarrow{Z_t} | \overleftarrow{X_t}) \\
& = H(\overrightarrow{Z_t} | \overleftarrow{Z_t}) - H(\overrightarrow{Z_t} | \overleftarrow{X_t}) \\
& = \sum_{l = t+1}^{t+L} \left ( H(Z_l | Z_{l-1}) - H(Z_l | \overrightarrow{Z_{t+1}}, X_t) \right ) \\
& = \sum_{l = t+1}^{t+L} \left ( H(Z_l | Z_{l-1}) - H(Z_l | \overrightarrow{Z_{t+1}}, X_t) \right ) \\
\leq = \sum_{l = t+1}^{t+L} \left ( H(Z_l | Z_{l-1}) - H(Z_l | \overrightarrow{Z_{t+1}}, X_t) \right ) \\
&\leq = \sum_{l = t+1}^{t+L} \left ( H(Z_l | Z_{l-1}) - H(Z_l | \overrightarrow{Z_{t+1}}, X_t) \right ) \\
= 0
= 0
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
'''推断2'''：假设存在 <math>Z=f(E)=f(\epsilon(X))</math>，<math>E</math> 为 <math>X_t</math> 的ϵ-机器的因果态，那么 <math>E</math> 是弱成块的条件 等价于 <math>Z_t</math> 计算闭合的条件。证明如下：
首先，计算闭合的条件说明，<math>Z</math> 的ϵ-机器的因果态 <math>E'</math>与 <math>E</math>之间存在粗粒化函数 <math>f'</math>，所以 <math>E</math> 可以被粗粒化成具有马尔科夫性的 <math>E'</math>，满足了弱成块的定义。
而且， <math>E</math> 对 <math>f</math> 弱成块时，我们就能推断 <math>X</math> 也具有马尔科夫性，而 <math>Z</math> 的ϵ-机器的因果态 <math>E'</math>就是一个对 <math>Z</math> 马尔科夫链的粗粒化划分，写作 <math>E'_t = \epsilon' (Z_t) = \epsilon' ( f (E_t))</math>，所以因果态 <math>E'</math>与 <math>E</math>之间存在粗粒化函数，满足了计算闭合的条件。
=划分方法=
=划分方法=