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== k-core分解的理论研究 ==

== k-core分解的理论研究 ==

=== 无关网络k-core分解的特征 ===

=== 不相关网络k-core分解的特征 ===

对于k-core的理论研究主要关注k-core的临界性。经过剪枝过程网络可能完全消失没有节点保留，也有可能留下一个一定大小的k-core无法进一步的移除节点。k-core分解过程的临界点，k-core与网络结构的关联都是研究者关注的地方。对于k-core分解过程的特征的研究出发点通常是一个具有已知度分布和度密度的大型非关联随机网络，其统计特性由其度分布决定，具有相同度分布和相同度密度的随机网络可以被视为在结构上不可区分的。

对于k-core的理论研究主要关注k-core的临界性。经过剪枝过程网络可能完全消失没有节点保留，也有可能留下一个一定大小的k-core无法进一步的移除节点。k-core分解过程的临界点，k-core与网络结构的关联都是研究者关注的地方。对于k-core分解过程的特征的研究出发点通常是一个具有已知度分布和度密度的大型非关联随机网络，其统计特性由其度分布决定，具有相同度分布和相同度密度的随机网络可以被视为在结构上不可区分的。

1987年, Luczak [15]首次从理论上研究 k-core 问题，关于随机网络G(n, p)中 k-core 的大小得出了以下三个定理：

1987年, Luczak [15]首次从理论上研究 k-core 问题，关于随机网络G(n, p)中 k-core 的大小得出了以下三个定理：

[[文件:K-core分解过程大小随时间变化.png|缩略图|k-core分解过程规模大小随时间变化]]

[[文件:K-core分解过程大小随时间变化.png|缩略图|k-core分解过程规模大小随时间变化]]

=== 无关网络k-core分解过程 ===

=== 不相关网络k-core分解过程 ===

S. N. Dorogovtsev [22]推导出了描述任意度分布的受损的随机不相关网络中 k-core 结构的精确方程。这一结果可以计算各种受损或未受损的随机网络中 k-core 的大小及其其他结构特征，并揭示复杂网络中 k-core 渗流的本质。</br>

S. N. Dorogovtsev [22]推导出了描述任意度分布的受损的随机不相关网络中 k-core 结构的精确方程。这一结果可以计算各种受损或未受损的随机网络中 k-core 的大小及其其他结构特征，并揭示复杂网络中 k-core 渗流的本质。</br>

对于一个无关网络（根据度分布由配置模型生成），考虑到无限稀疏的配置模型的树状结构特点，可以发现其k核与无限（k−1）叉子树（每个子节点至少有k-1个子代）完全重合。

对于一个不相关网络（根据度分布由配置模型生成），考虑到无限稀疏的配置模型的树状结构特点，可以发现其k核与无限（k−1）叉子树（每个子节点至少有k-1个子代）完全重合。

P(q)为度分布,Q=1-p表示网络中随机移除的节点的比例。</br>

P(q)为度分布,Q=1-p表示网络中随机移除的节点的比例。</br>

设R为网络中某条边的一端不是无限（k-1）叉子树根节点的概率，那么一个节点属于k-core的概率</br>

设R为网络中某条边的一端不是无限（k-1）叉子树根节点的概率，那么一个节点属于k-core的概率</br>

Wu et al. [25]发现非回溯扩展分支（NBEB）方法能够处理度相关网络，并且通过在多种网络上的数值模拟验证了其结果的正确性。在此基础上，Wu et al. [33]进一步拓展了NBEB方法，不仅解决了多层网络中的k核剪枝过程问题，还提出了"多色非回溯扩展分支"（MNEB）算法。该方法可分析从最简单的非关联多层网络，到同时存在层内与层间关联的最复杂情况。</br>

Wu et al. [25]发现非回溯扩展分支（NBEB）方法能够处理度相关网络，并且通过在多种网络上的数值模拟验证了其结果的正确性。在此基础上，Wu et al. [33]进一步拓展了NBEB方法，不仅解决了多层网络中的k核剪枝过程问题，还提出了"多色非回溯扩展分支"（MNEB）算法。该方法可分析从最简单的非关联多层网络，到同时存在层内与层间关联的最复杂情况。</br>

用<math>e_{jl}</math>表示一条边的两个端点分别具有剩余度 j 和 l 的概率，<math>\sum^{\infty}_{l=0} = q_j</math>，在无关网络中，<math>e_{jl} = q_j * q_l</math>，可以得到如下递推关系：</br>

用<math>e_{jl}</math>表示一条边的两个端点分别具有剩余度 j 和 l 的概率，<math>\sum^{\infty}_{l=0} = q_j</math>，在不相关网络中，<math>e_{jl} = q_j * q_l</math>，可以得到如下递推关系：</br>

<math>q_l * y_{n,l} = \sum^{\infty}_{j=k-1}e_{lj}\sum^l_{m=k-1}(^j_m)y^m_{n-1,j}*{(1-y_{n-1,j})^{j-m}}</math></br>

<math>q_l * y_{n,l} = \sum^{\infty}_{j=k-1}e_{lj}\sum^l_{m=k-1}(^j_m)y^m_{n-1,j}*{(1-y_{n-1,j})^{j-m}}</math></br>

<math>r_n = \sum^{\infty}_{j=k}p_j \sum^j_{m=k}(^j_m)y^m_{n-1}(1-y_{n-1})^{j-m}</math></br>

<math>r_n = \sum^{\infty}_{j=k}p_j \sum^j_{m=k}(^j_m)y^m_{n-1}(1-y_{n-1})^{j-m}</math></br>