更改

</math>

</math>

通过解平稳分布一节中给出的线性方程组，可以得到CTMC的唯一平稳分布<math>\mathbf{p}=(\frac{5}{18},\frac{4}{18},\frac{1}{2})</math>。平稳分布是不是可逆的呢？以状态0和1为例，有<math>\mathbf{p}_0q_{01}=\frac{5}{9}\neq\frac{2}{9}=\mathbf{p}_1q_{10}</math>，不满足细致平衡条件，所以这个CTMC是不可逆的。

通过解平稳分布一节中给出的线性方程组，可以得到CTMC的唯一平稳分布<math>\mathbf{p}=(\frac{5}{18},\frac{4}{18},\frac{1}{2})</math>。平稳分布是不是可逆的呢？以状态0和1为例，有<math>\mathbf{p}_0q_{01}=\frac{5}{9}\neq\frac{2}{9}=\mathbf{p}_1q_{10}</math>，不满足公式（1）中的细致平衡条件，所以这个CTMC是不可逆的。

</math>

</math>

用同样的方法算出它的平稳分布为均匀分布<math>\mathbf{p}=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})</math>，并且它满足<math>\mathbf{p}_iq_{ij}=\pi_jq_{ji}</math>，所以<math>\mathbf{p}</math>是该转移速率矩阵的平稳可逆分布。

用同样的方法算出它的平稳分布为均匀分布<math>\mathbf{p}=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})</math>，并且它满足公式（1）中的细致平衡条件，所以<math>\mathbf{p}</math>是该转移速率矩阵的平稳可逆分布。

我们再回到最开始给出的超市排队的例子，它的转移速率矩阵为：

我们再回到最开始给出的超市排队的例子，它的转移速率矩阵为：

</math>

</math>

读者可以自行求解平稳分布满足的方程组，会发现只有当<math>\lambda<\mu</math>时，平稳分布的方程组才有唯一非负解，可以解得<math>\mathbf{p}_n=(1-\rho)\rho^n,\rho=\lambda/\mu</math>，当<math>\rho\geq 1</math>时，队伍会无限增长，不存在稳态分布。这个平稳分布是否是可逆的呢？由于这个CTMC的状态是局部转移的，我们可以对细致平衡条件进行局部验证：<math>\mathbf{p}_n\lambda=\mathbf{p}_{n+1}\mu</math>，代入<math>\mathbf{p}_n=(1-\rho)\rho^n</math>可知等式成立，所以它的平稳分布<math>\mathbf{p}</math>是可逆的。

读者可以自行求解平稳分布满足的方程组，会发现只有当<math>\lambda<\mu</math>时，平稳分布的方程组才有唯一非负解，可以解得<math>\mathbf{p}_n=(1-\rho)\rho^n,\rho=\lambda/\mu</math>，当<math>\rho\geq 1</math>时，队伍会无限增长，不存在稳态分布。这个平稳分布是否是可逆的呢？由于这个CTMC的状态是局部转移的，我们可以对公式（1）中的细致平衡条件进行局部验证：<math>\mathbf{p}_n\lambda=\mathbf{p}_{n+1}\mu</math>，代入<math>\mathbf{p}_n=(1-\rho)\rho^n</math>可知等式成立，所以它的平稳分布<math>\mathbf{p}</math>是可逆的。

===连续时间马尔科夫链的粗粒化===

===连续时间马尔科夫链的粗粒化===