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===第二步===

===第二步===

由于我们得到的矩阵<math>\tilde{U}_{1}</math>属于空间<math>\mathcal{R}^{n\times r_{\epsilon0}}</math>，而<math>r_{\epsilon0}</math>不一定小于n，因此我们无法直接利用其转置对n维向量进行粗粒化，因此还需要第二步SVD分解。我们利用矩阵<math>\tilde{U}_{1}</math>进行第二步SVD分解

由于我们得到的矩阵<math>\tilde{U}_{1}</math>属于空间<math>\mathcal{R}^{n\times r_{\epsilon0}}</math>，而<math>r_{\epsilon0}</math>不一定小于n；同时，由于<math>\tilde{U}_{1}</math>中的列向量<math>\tilde{u}_{1},\cdots,\tilde{u}_{r_\epsilon 0}</math>源于<math>U=(u_1,\cdots,u_n),V=(v_1,\cdots,v_n)</math>两组可以张成n维空间的正交基，无法保证<math>\tilde{u}_{1},\cdots,\tilde{u}_{r_\epsilon 0}</math>彼此之间的线性无关和正交。因此我们无法直接利用其转置对n维向量进行粗粒化，因此还需要第二步SVD分解，来得到真正的正交矩阵。我们利用矩阵<math>\tilde{U}_{1}</math>和<math>\tilde{S}</math>进行第二步SVD分解，得到

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<math>

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</math>

</math>

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<math>\hat{S}={\rm diag}(\hat{s}_1,\cdots,\hat{s}_n)</math>是矩阵<math>\tilde{U}_{1}</math>对应的奇异值，用同样的方法得到大于<math>\epsilon</math>的<math>\hat{s}_i</math>数量为<math>r_{\epsilon}</math>后，我们可以再次对左奇异向量矩阵进行分解得到

<math>\hat{S}={\rm diag}(\hat{s}_1,\cdots,\hat{s}_n)</math>是矩阵<math>\tilde{U}_{1}\tilde{S}</math>对应的奇异值，用同样的方法得到大于<math>\epsilon</math>的<math>\hat{s}_i</math>数量为<math>r_{\epsilon}</math>后，我们可以再次对左奇异向量矩阵进行分解得到

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