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第142行： − + 第165行：
第165行： − + 第351行：
第351行： + + + + − '''数学表示'''+ − 对于贝特晶格（Bethelattice），其渗流阈值可解析为：+ + − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − 其中''z''是每个节点的平均度（配位数）。 − 对于二维方格的边渗流模型，HarryKesten于1982年证明： − <math> p_c=1/2 </math>
→奠基时期（1950s-1960s）
=== 实验验证 ===
=== 实验验证 ===
==== 材料科学实验 ====
===== 材料科学实验 =====
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
!材料体系
!材料体系
|}
|}
==== 网络科学实验 ====
===== 网络科学实验 =====
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
!网络类型
!网络类型
* 网络连通性：在复杂网络中，若随机移除一定比例的节点，当保留节点的比例低于阈值[math]\displaystyle{ p_c }[/math]时，整个网络失去主连通分量。
* 网络连通性：在复杂网络中，若随机移除一定比例的节点，当保留节点的比例低于阈值[math]\displaystyle{ p_c }[/math]时，整个网络失去主连通分量。
=== 数学表示 ===
==== 基础定义 ====
严格概率定义：
[math]\displaystyle{ p_c = \inf \left{ p \in [0,1] : \mathbb{P}_p(|C_0| = \infty) > 0 \right} }[/math]
其中：
* [math]\displaystyle{ \mathbb{P}_p }[/math]：激活概率为 [math]\displaystyle{ p }[/math] 的概率测度
* [math]\displaystyle{ |C_0| }[/math]：包含原点的连通分量大小
<math> p_c=1/(z-1) </math>
等价上确界形式：
[math]\displaystyle{ p_c = \sup \left{ p \in [0,1] : \mathbb{P}_p(|C_0| \lt \infty) = 1 \right} }[/math]
----
==== 晶格模型解析解 ====
{| class="wikitable"
!晶格类型
!点渗流
!边渗流
|-
|贝特晶格
|[math]\displaystyle{ p_c = \frac{1}{z-1} }[/math]
| -
|-
|二维方格
| -
|[math]\displaystyle{ p_c = \frac{1}{2} }[/math]
|-
|三角晶格
|[math]\displaystyle{ p_c = 2\sin\frac{\pi}{18} }[/math]
| -
|-
|蜂巢晶格
| -
|[math]\displaystyle{ p_c = 1 - 2\sin\frac{\pi}{18} }[/math]
|-
|体心立方(BCC)
|[math]\displaystyle{ p_c \approx 0.246 }[/math]
|[math]\displaystyle{ p_c \approx 0.178 }[/math]
|}
----
==== 临界指数体系 ====
在 [math]\displaystyle{ p_c }[/math] 附近系统行为满足标度律：
* 关联长度：[math]\displaystyle{ \xi \sim |p - p_c|^{-\nu} }[/math]
* 无穷集群密度：[math]\displaystyle{ P_\infty \sim (p - p_c)^\beta }[/math]
* 平均集群大小：[math]\displaystyle{ \chi \sim |p - p_c|^{-\gamma} }[/math]
* 电导率：[math]\displaystyle{ \sigma \sim (p - p_c)^\mu }[/math]
临界指数标准值：
{| class="wikitable"
!指数
!二维
!三维
!平均场理论
|-
|[math]\displaystyle{ \nu }[/math]
|4/3 ≈ 1.333
|0.876(1)
|1/2
|-
|[math]\displaystyle{ \beta }[/math]
|5/36 ≈ 0.139
|0.418(4)
|1
|-
|[math]\displaystyle{ \gamma }[/math]
|43/18 ≈ 2.389
|1.793(3)
|1
|-
|[math]\displaystyle{ \mu }[/math]
|1.30(2)
|2.00(3)
|3
|}
----
==== 高维数值解 ====
d 维立方格精确值：
{| class="wikitable"
!d
!z
!<nowiki>点渗流 [math]\displaystyle{ p_c^{\text{site}} }[/math]</nowiki>
!<nowiki>边渗流 [math]\displaystyle{ p_c^{\text{bond}} }[/math]</nowiki>
|-
|2
|4
|0.59274601(2)
|0.5
|-
|3
|6
|0.3116077(4)
|0.2488126(5)
|-
|4
|8
|0.1968861(14)
|0.1601314(13)
|-
|5
|10
|0.1407966(15)
|0.118172(1)
|-
|6
|12
|0.109017(2)
|0.0942019(6)
|-
|...
|...
|...
|...
|-
|→∞
|∞
|[math]\displaystyle{ p_c \sim \frac{1}{2d} }[/math]
|[math]\displaystyle{ p_c \sim \frac{1}{2d-1} }[/math]
|}
----
==== 网络科学中的推广 ====
无标度网络阈值：
[math]\displaystyle{ p_c = \frac{\langle k \rangle}{\langle k^2 \rangle} }[/math]
其中 [math]\displaystyle{ P(k) \sim k^{-\gamma} }[/math] 为度分布
多层网络耦合阈值：
[math]\displaystyle{ p_c^{(m)} = 1 - (1 - p_c^{(1)})^{1/m} }[/math]
（[math]\displaystyle{ m }[/math] 为耦合网络层数）
----
==== 连续渗流模型 ====
体积分数阈值：
<nowiki>[math]\displaystyle{ \phi_c = \frac{\int_{\text{pore}} dV}{\int_{\text{total}} dV} }[/math]</nowiki>
经典体系阈值：
* 随机球堆：[math]\displaystyle{ \phi_c \approx 0.289 }[/math]
* 重叠球模型：[math]\displaystyle{ \phi_c \approx 0.31 }[/math]
----
==== 有限尺寸标度律 ====
系统尺寸 [math]\displaystyle{ L }[/math] 下的阈值偏移：
[math]\displaystyle{ p_c(L) = p_c(\infty) + aL^{-1/\nu} }[/math]
其中 [math]\displaystyle{ a }[/math] 为常数，[math]\displaystyle{ \nu }[/math] 为关联长度指数
----
==== 量子渗流表示 ====
安德森哈密顿量：
[math]\displaystyle{ \hat{H} = -t \sum_{\langle ij\rangle} c_i^\dagger c_j + \sum_i \epsilon_i c_i^\dagger c_i }[/math]
迁移率边 [math]\displaystyle{ E_c }[/math] 满足：
[math]\displaystyle{ \frac{E_c}{W} \propto (p - p_c)^\kappa }[/math]
（[math]\displaystyle{ W }[/math] 为无序强度，[math]\displaystyle{ \kappa \approx 1.5 }[/math]）
----
==== 微分几何表示 ====
曲率依赖阈值（双曲空间）：
<nowiki>[math]\displaystyle{ p_c(K) = 1 - e^{-2\pi / \sqrt{-K}} }[/math]</nowiki>
其中 [math]\displaystyle{ K }[/math] 为高斯曲率