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第687行：
第687行： − + − <blockquote> − <math> − \begin{aligned} − \mathscr{A} =\begin{pmatrix} − 0& 0 \\ − 0& 1 \\ − 1&0 \\ − 0& 0 − \end{pmatrix},\mathscr{B} =\begin{pmatrix} − 0& 0 \\ − -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ − \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \\ − 0& 0 − \end{pmatrix} − \end{aligned}. − </math> − </blockquote> − 这样我们可以直接计算<math>\Omega_{\rm I}</math>的基向量，得到 − <blockquote> − <math> − \begin{aligned} − W_{\rm I}^T=U_1\mathscr{A} =V_1\mathscr{B} \in\mathcal{R}^{n\times r_{{\rm I}}} − \end{aligned} − </math> − </blockquote> − 其中<math>r_{\rm I}=2</math>。由于<math>u_2,u_3,v_2,v_3\in\Omega_{\rm I}</math>，我们可以得到<math>\Omega_{\rm I}=\mathcal{M}(U_1\mathscr{A})=\mathcal{M}(V_1\mathscr{B})=\mathcal{M}(u_2,u_3)=\mathcal{M}(v_2,v_3)</math>。 − − 与此同时，对比<math>u_iV_2</math>和<math>v_iU_2</math>的所有值, <math>u_i\in\mathcal{M}(U_1)</math>, <math>v_i\in\mathcal{M}(V_1)</math>, 我们可以知道存在冲突的奇异向量是 − <blockquote> − <math> − \begin{aligned} − u_1,u_4,v_1,v_4\in\Omega_{{\rm II}} − \end{aligned} − </math> − </blockquote> − 他们的生成空间<math>\Omega_{\rm II}=\mathcal{M}(u_1,u_4,v_1,v_4)</math>，对应的奇异向量构成集合 − <blockquote> − <math> − \begin{aligned} − Q=(s_1,\kappa_1,\kappa_4,s_4). − \end{aligned} − </math> − </blockquote> − 通过计算我们可以知道，若要满足有效秩为<math>r_\epsilon</math>，需要补充的维度数量为<math>r_{\rm II}=r_\epsilon-r_{\rm I}=2</math>，因此选择Q中最大的两个奇异值构成新集合<math>\hat{Q}=(s_1,\kappa_1)</math>，最终可以得到调和粗粒化策略矩阵 − <blockquote> − <math> − \begin{aligned} − W_{{\rm II}}^T=(u_1,v_1). − \end{aligned} − </math> − </blockquote> − 并靠拼接得到图f中的矩阵W。通过粗粒化策略的求解，我们可以得到如图f所示的粗粒化参数矩阵<math>W</math>，其保留了<math>x_1,x_2,x_3,x_5</math>四个维度，从图e可看出在使用高斯噪声迭代系统基于SVD的粗粒化策略后得到的因果涌现指标<math>\Delta\Gamma_\alpha^{W}(\epsilon)</math>，会比直接截取<math>U</math>或<math>V</math>得到的对应因果涌现大小<math>\Delta\Gamma_\alpha^{U_1}(\epsilon)</math>、<math>\Delta\Gamma_\alpha^{V_1}(\epsilon)</math>略更接近理论最大的<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)</math>。
→离散化布朗运动
在得到图d中的奇异值谱之后，规定<math>\epsilon=0.6</math>，我们可以得到<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)=0.5167</math>，其中有效秩<math>r_\epsilon=4</math>， <math>s_1,\cdots,s_4</math>和<math>\kappa_1,\cdots,\kappa_4</math>需要被保留。
在得到图d中的奇异值谱之后，规定<math>\epsilon=0.6</math>，我们可以得到<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)=0.5167</math>，其中有效秩<math>r_\epsilon=4</math>， <math>s_1,\cdots,s_4</math>和<math>\kappa_1,\cdots,\kappa_4</math>需要被保留。
得到协方差矩阵<math>\Sigma^{-1}</math>和<math>A^T\Sigma^{-1} A</math>的奇异值谱后，我们可以计算具体的粗粒化策略。为了计算协同粗粒化策略矩阵<math>W_{\rm I}</math>，我们需要先计算<math>(U_1, -V_1)</math>的零空间,<math>U_1=(u_1,u_2,u_3,u_4),V_1=(v_1,v_2,v_3,v_4)</math>，因此
得到协方差矩阵<math>\Sigma^{-1}</math>和<math>A^T\Sigma^{-1} A</math>的奇异值谱后，我们可以计算具体的粗粒化策略，得到图f中的矩阵W。通过粗粒化策略的求解，我们可以得到如图f所示的粗粒化参数矩阵<math>W</math>，其保留了<math>x_1,x_2,x_3,x_5</math>四个维度，从图e可看出在使用高斯噪声迭代系统基于SVD的粗粒化策略后得到的因果涌现指标<math>\Delta\Gamma_\alpha^{W}(\epsilon)</math>，会比直接截取<math>U</math>或<math>V</math>得到的对应因果涌现大小<math>\Delta\Gamma_\alpha^{U_1}(\epsilon)</math>、<math>\Delta\Gamma_\alpha^{V_1}(\epsilon)</math>略更接近理论最大的<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)</math>。
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