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→复杂网络重整化的挑战
== 复杂网络重整化的挑战 ==
== 复杂网络重整化的挑战 ==
应用重整化群方法，研究者们已成功发现了一大类系统的普适性特征，对构建自然现象的自下而上的模型具有重要价值。然而在更多真实世界问题中，相互作用极少呈现类格点似的同质规则性。结构无序性与空间非均匀相互作用导致了具有拓扑几何异质性的网络模式（pattern）。真实世界网络的特征包括：第一，度分布（节点连接数的分布）具有多样性；第二，即使是大规模网络，其任意两点间的平均路径长度往往也很短（即小世界网络特性）；第三，即使是稀疏网络，其局部三角密度（集聚系数）也是非零的有限值；第四，模块化的社区结构或层级型结构等[1-4]。这些不规则特征对推广标准重整化群方法构成挑战，同时系统有限性引起的边界效应与有限尺度的效应[5-9]会导致问题更加复杂。
应用重整化群方法，研究者们已成功发现了一大类系统的普适性特征，对构建自然现象的自下而上的模型具有重要价值。然而在更多真实世界问题中，相互作用极少呈现类格点似的同质规则性。结构无序性与空间非均匀相互作用导致了具有拓扑几何异质性的网络模式（pattern）。真实世界网络的特征包括：第一，度分布（节点连接数的分布）具有多样性；第二，即使是大规模网络，其任意两点间的平均路径长度往往也很短（即小世界网络特性）；第三，即使是稀疏网络，其局部三角密度（集聚系数）也是非零的有限值；第四，模块化的社区结构或层级型结构等[1-4]。这些不规则特征对推广标准重整化群方法构成挑战，同时系统有限性引起的边界效应与有限尺度的效应[5-9]会导致问题更加复杂。
利用重整化群对系统进行分析，通常由以下三个基本步骤组成。第一，定义粗粒化变量。可以是在实空间中将粗粒化变量定义为包含多个微观单元的相同介观单元或者定义为能够平铺实空间“模块”；也可以将其定义为在对偶的 k-空间中将变量分解为从最短到最长的不同波长的分量；第二，利用求平均或边缘分布，约化掉系统中由局部涨落为代表的微小细节，即将小尺度单元或短波长（快速）模态等属性进行平均化，从而得到更上一层级的性质；第三，对粗粒化系统的耦合模式和参数数值进行重整化。（在具有连续自由度的理论中，重整化还需要一些技巧来处理不可避免出现的无穷大。这种方法在粒子物理学和统计场论中是熟知的<ref name="Itzykson_Statistical_Field_Theory">{{cite journal|author1=Itzykson C|author2=Drouffe J. M.|title=Statistical Field Theory: Volume 1, From Brownian Motion to Renormalization and Lattice Gauge Theory|journal=Cambridge Univ. Press|year=1989|url=}}</ref><ref name="Burgess_Effective_Field_Theory">{{cite journal|author1=Burgess C. P.|title=Introduction to Effective Field Theory|journal=Cambridge Univ. Press|year=2020|url=}}</ref>，但在当前复杂网络的背景下，由于离散和有限性质，不需要这种额外的处理手段）。这些操作的重复执行，可以产生重整化流（RG flow），其轨迹和不动点也是研究对象之一。
利用重整化群对系统进行分析，通常由以下三个基本步骤组成。第一，定义粗粒化变量。可以是在实空间中将粗粒化变量定义为包含多个微观单元的相同介观单元或者定义为能够平铺实空间“模块”；也可以将其定义为在对偶的 k-空间中将变量分解为从最短到最长的不同波长的分量；第二，利用求平均或边缘分布，约化掉系统中由局部涨落为代表的微小细节，即将小尺度单元或短波长（快速）模态等属性进行平均化，从而得到更上一层级的性质；第三，对粗粒化系统的耦合模式和参数数值进行重整化。（在具有连续自由度的理论中，重整化还需要一些技巧来处理不可避免出现的无穷大。这种方法在粒子物理学和统计场论中是熟知的<ref name="Itzykson_Statistical_Field_Theory">{{cite journal|author1=Itzykson C|author2=Drouffe J. M.|title=Statistical Field Theory: Volume 1, From Brownian Motion to Renormalization and Lattice Gauge Theory|journal=Cambridge Univ. Press|year=1989|url=}}</ref><ref name="Burgess_Effective_Field_Theory">{{cite journal|author1=Burgess C. P.|title=Introduction to Effective Field Theory|journal=Cambridge Univ. Press|year=2020|url=}}</ref>，但在当前复杂网络的背景下，由于离散和有限性质，不需要这种额外的处理手段）。这些操作的重复执行，可以产生重整化流（RG flow），其轨迹和不动点也是研究对象之一。
第一步是定义粗粒化变量。这对于嵌入在平移不变的度量空间（如规则格点或欧几里得几何）中的具有局部相互作用的均匀物理系统来说是直接的，因为距离和邻域的概念使得“相同的介观单元”或“波长”易于定义（例如，二维格子可以容易地粗粒化到一个具有相同对称性和维度的缩小格子上）。在具有全局均匀同质相互作用的系统中，如在平均场模型中理想化的那样，系统的结构是可以简单地映射到一个全连接的图上。然而，在高度非均匀和小世界网络中定义粗粒化变量变得不那么简单，这提出了一个问题：在这个背景下，如何适当地定义块节点或慢模态？ 此外，这类网络通常是使用经验信息的分辨率水平构建的，这些水平通常受到数据限制的约束。例如，流行病传播和经济冲击通常是在聚合水平上观察到的（比如亚群体的接触或经济部门流动），而不是在实际动态发生的更细尺度上（个体感染或公司层面的传播冲击）。直接在这些聚合水平上建模过程通常无法捕捉到系统在更细尺度上的动态，这一点在2008年金融危机期间的冲击传播研究和COVID-19爆发期间的流行病传播研究中有所体现<ref name="Bardoscia_financial_networks">{{cite journal|author1=Bardoscia M.|title=The physics of financial networks|journal=Nat. Rev. Phys.|year=2021|volume=3|url=}}</ref><ref name="Soriano-Paños_epidemics">{{cite journal|author1=Soriano-Paños D.|title=Modeling communicable diseases, human mobility, and epidemics: a review|journal=Ann. Phys.|year=2022|volume=534|url=}}</ref>。
第一步是定义粗粒化变量。这对于嵌入在平移不变的度量空间（如规则格点或欧几里得几何）中的具有局部相互作用的均匀物理系统来说是直接的，因为距离和邻域的概念使得“相同的介观单元”或“波长”易于定义（例如，二维格子可以容易地粗粒化到一个具有相同对称性和维度的缩小格子上）。在具有全局均匀同质相互作用的系统中，如在平均场模型中理想化的那样，系统的结构是可以简单地映射到一个全连接的图上。然而，在高度非均匀和小世界网络中定义粗粒化变量变得不那么简单，这提出了一个问题：在这个背景下，如何适当地定义块节点或慢模态？ 此外，这类网络通常是使用经验信息的分辨率水平构建的，这些水平通常受到数据限制的约束。例如，流行病传播和经济冲击通常是在聚合水平上观察到的（比如亚群体的接触或经济部门流动），而不是在实际动态发生的更细尺度上（个体感染或公司层面的传播冲击）。直接在这些聚合水平上建模过程通常无法捕捉到系统在更细尺度上的动态，这一点在2008年金融危机期间的冲击传播研究和COVID-19爆发期间的流行病传播研究中有所体现<ref name="Bardoscia_financial_networks">{{cite journal|author1=Bardoscia M.|title=The physics of financial networks|journal=Nat. Rev. Phys.|year=2021|volume=3|url=}}</ref><ref name="Soriano-Paños_epidemics">{{cite journal|author1=Soriano-Paños D.|title=Modeling communicable diseases, human mobility, and epidemics: a review|journal=Ann. Phys.|year=2022|volume=534|url=}}</ref>。
第二步是平均掉局部波动。与第一步类似类似，在同质格点或度量空间中，利用内部对称性，可以通过坐标化定义的邻近性刻画连通性概念，即空间上更接近的节点更有可能连接。在这些空间上的物理理论是局部的，粗粒化理论只涉及局部场及其有限阶导数。然而，局部性概念并不能直接推广到不规则的网络化空间的情形。在对称的布尔网络中，可以通过邻接矩阵（刻画相邻直接相互作用）或其幂（刻画直到第n级近邻的相互作用）来定义相互作用，也可以使用最短路诱导的离散度量<ref name="Song_Self_similarity">{{cite journal|author1=Song C|author2=Havlin S|author3=Makse H. A.|title=Self-similarity of complex networks|journal=Nature|year=2005|volume=433|url=}}</ref>。网络的稀疏性、不同路径距离处度分布的异质分布以及无序长程相互作用（小世界特性）等诸多因素使得在复杂网络中明确定义局部性变得复杂。
第二步是平均掉局部波动。与第一步类似类似，在同质格点或度量空间中，利用内部对称性，可以通过坐标化定义的邻近性刻画连通性概念，即空间上更接近的节点更有可能连接。在这些空间上的物理理论是局部的，粗粒化理论只涉及局部场及其有限阶导数。然而，局部性概念并不能直接推广到不规则的网络化空间的情形。在对称的布尔网络中，可以通过邻接矩阵（刻画相邻直接相互作用）或其幂（刻画直到第n级近邻的相互作用）来定义相互作用，也可以使用最短路诱导的离散度量<ref name="Song_Self_similarity">{{cite journal|author1=Song C|author2=Havlin S|author3=Makse H. A.|title=Self-similarity of complex networks|journal=Nature|year=2005|volume=433|url=}}</ref>。网络的稀疏性、不同路径距离处度分布的异质分布以及无序长程相互作用（小世界特性）等诸多因素使得在复杂网络中明确定义局部性变得复杂。
最后，第三步是重整化耦合和参数。这一步的复杂性与前两步密切相关。在无序的格点系统（如自旋玻璃<ref name="Binder_Spin_glasses">{{cite journal|author1=Binder K|author2=Young A. P.|title=Spin glasses: experimental facts, theoretical concepts, and open questions|journal=Rev. Mod. Phys.|year=1986|volume=58|url=}}</ref>）中，相互作用拓扑可能是规则的，但耦合常数的异质可能非常高。这种异质性可以用随机变量建模，其中自平均能确保空间平均对应于分布平均。在这种情况下，重整化耦合需要将细尺度耦合常数的概率分布对应到粗粒化后的常数的诱导分布上<ref name="Bar-Yam_Renormalization_sparse_disorder">{{cite journal|author1=Bar-Yam Y|author2=Patil S. P.|title=Renormalization of sparse disorder in the Ising model|journal=Preprint at arXiv|year=2018|url=}}</ref>。在异质网络中，挑战更加严峻，因为相互作用的拓扑本身是无规则的。由于许多复杂网络是基于特定性质从系综中抽样而得到的随机图，因此，重整化耦合模式和参数数值需要将细粒度图上的初始概率分布变换到粗粒度图上的新分布。从理论上来说，该变换定义了一个重整化流，具有其自身独特的泛函轨迹和不动点。
最后，第三步是重整化耦合和参数。这一步的复杂性与前两步密切相关。在无序的格点系统（如自旋玻璃<ref name="Binder_Spin_glasses">{{cite journal|author1=Binder K|author2=Young A. P.|title=Spin glasses: experimental facts, theoretical concepts, and open questions|journal=Rev. Mod. Phys.|year=1986|volume=58|url=}}</ref>）中，相互作用拓扑可能是规则的，但耦合常数的异质可能非常高。这种异质性可以用随机变量建模，其中自平均能确保空间平均对应于分布平均。在这种情况下，重整化耦合需要将细尺度耦合常数的概率分布对应到粗粒化后的常数的诱导分布上<ref name="Bar-Yam_Renormalization_sparse_disorder">{{cite journal|author1=Bar-Yam Y|author2=Patil S. P.|title=Renormalization of sparse disorder in the Ising model|journal=Preprint at arXiv|year=2018|url=}}</ref>。在异质网络中，挑战更加严峻，因为相互作用的拓扑本身是无规则的。由于许多复杂网络是基于特定性质从系综中抽样而得到的随机图，因此，重整化耦合模式和参数数值需要将细粒度图上的初始概率分布变换到粗粒度图上的新分布。从理论上来说，该变换定义了一个重整化流，具有其自身独特的泛函轨迹和不动点。
受这些考虑的启发，近年来研究人员致力于为复杂网络重整化建立通用框架。下文将总结各不同但相互关联的一系列策略来实现这一目标的方法。我们首先对粗粒化复杂网络的方法进行宽泛（但依然无法全面的）概述，然后深入探讨在异质网络上述对重整化程序的三个步骤中的若干步骤进行推广的方法。
受这些考虑的启发，近年来研究人员致力于为复杂网络重整化建立通用框架。下文将总结各不同但相互关联的一系列策略来实现这一目标的方法。我们首先对粗粒化复杂网络的方法进行宽泛（但依然无法全面的）概述，然后深入探讨在异质网络上述对重整化程序的三个步骤中的若干步骤进行推广的方法。