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几何软配置模型[42,72]基于节点间的流行度（popularity）与相似性（similarity）来定义节点间的度量距离。这些抽象维度的结合使得双曲几何成为可嵌入层级结构与小世界结构的最自然的空间。此空间中的距离编码了节点间形成连接的概率，邻近节点更倾向于连接。该方法与随机几何图[73,74]及社交网络隐空间模型[75]的思路相似。

几何软配置模型[42,72]基于节点间的流行度（popularity）与相似性（similarity）来定义节点间的度量距离。这些抽象维度的结合使得双曲几何成为可嵌入层级结构与小世界结构的最自然的空间。此空间中的距离编码了节点间形成连接的概率，邻近节点更倾向于连接。该方法与随机几何图[73,74]及社交网络隐空间模型[75]的思路相似。

在该模型的牛顿版本[42]（称为 <math>\mathbb{S}^D</math>模型）中，第 <math>\ell = 0</math>层的每个节点 <math>i_0</math>（ <math>i_0 = 1, \dots, N_0</math>）被赋予一个流行度变量及相似性空间中的坐标。流行度由隐藏度 <math>\kappa_{i_0}</math>编码，该隐藏度从任意分布 <math>\rho(\kappa)</math>中抽取，通常为指数 <math>-\gamma</math>的幂律分布（ <math>\gamma > 0</math>）。当维度 <math>D = 1</math>时，相似性空间为半径为 <math>R_0</math>的一维球面，其设计需满足 <math>N_0</math>个节点以恒定密度分布，其中每个节点 <math>i_0</math>被赋予角坐标 <math>\theta_{i_0}</math>，由此定义节点对 <math>i_0</math>与 <math>j_0</math>之间的角距离 <math>\Delta\theta_{i_0 j_0}</math>。节点 <math>i_0</math>与 <math>j_0</math>的连接概率 <math>p_{i_0 j_0}</math>遵循引力定律形式[76]，并定义了最大熵[2]系综

在该模型的牛顿版本[42]（称为 <math>\mathbb{S}^D</math>模型）中，第 <math>\ell = 0</math>层的每个节点 <math>i_0</math>（ <math>i_0 = 1, \dots, N_0</math>）被赋予一个流行度变量及相似性空间中的坐标。流行度由隐藏度 <math>\kappa_{i_0}</math>编码，该隐藏度从任意分布 <math>\rho(\kappa)</math>中抽取，通常为指数 <math>-\gamma</math>的幂律分布（ <math>\gamma > 0</math>）。当维度 <math>D = 1</math>时，相似性空间为半径为 <math>R_0</math>的一维球面，其设计需满足 <math>N_0</math>个节点以恒定密度分布，其中每个节点 <math>i_0</math>被赋予角坐标 <math>\theta_{i_0}</math>，由此定义节点对 <math>i_0</math>与 <math>j_0</math>之间的角距离 <math>\Delta\theta_{i_0 j_0}</math>。节点 <math>i_0</math>与 <math>j_0</math>的连接概率 <math>p_{i_0 j_0}</math>遵循引力定律形式[76]，并定义了最大熵[2]系综

<math>p_{i_0 j_0} = \frac{1}{1 + X_{i_0 j_0}}, \tag{4}</math>

<math>p_{i_0 j_0} = \frac{1}{1 + X_{i_0 j_0}}, \tag{4}</math>

<math>X_{i_0 j_0} = \frac{(R_0 \Delta \theta_{i_0 j_0})^{\beta}}{(\mu_0 \kappa_{i_0} \kappa_{j_0})^{\max(1,\beta)}}. \tag{5}</math>

<math>X_{i_0 j_0} = \frac{(R_0 \Delta \theta_{i_0 j_0})^{\beta}}{(\mu_0 \kappa_{i_0} \kappa_{j_0})^{\max(1,\beta)}}. \tag{5}</math>

参数 <math>\mu_0</math>决定了平均度 <math>\langle k \rangle_0</math>，且各节点的期望度与其 <math>\kappa</math>值成正比。 <math>\beta</math>调控网络拓扑的集聚性，反映隐空间中的三角不等式约束，并作为逆温度参数[76,77]。

参数 <math>\mu_0</math>决定了平均度 <math>\langle k \rangle_0</math>，且各节点的期望度与其 <math>\kappa</math>值成正比。 <math>\beta</math>调控网络拓扑的集聚性，反映隐空间中的三角不等式约束，并作为逆温度参数[76,77]。

该模型在 <math>\beta = 1</math>处呈现反常拓扑相变（参考文献77）。在几何相（ <math>\beta > 1</math>）中，集聚系数保持有限值[42]；而在非几何相（ <math>0 \leq \beta \leq 1</math>）的热力学极限下，集聚系数趋于零。然而，在准几何区域 <math>0.5 \lessapprox \beta < 1</math>内，集聚系数衰减至零的速度极慢[78]，表明有限规模网络仍保留显著水平的集聚性，能够与某些真实复杂网络具有相当性质。因此，较低“温度”（低 <math>\beta</math>）对应短程连接占优，而较高“温度”（高 <math>\beta</math>）则是对不同长度连接的生成概率的平衡。

该模型在 <math>\beta = 1</math>处呈现反常拓扑相变（参考文献77）。在几何相（ <math>\beta > 1</math>）中，集聚系数保持有限值[42]；而在非几何相（ <math>0 \leq \beta \leq 1</math>）的热力学极限下，集聚系数趋于零。然而，在准几何区域 <math>0.5 \lessapprox \beta < 1</math>内，集聚系数衰减至零的速度极慢[78]，表明有限规模网络仍保留显著水平的集聚性，能够与某些真实复杂网络具有相当性质。因此，较低“温度”（低 <math>\beta</math>）对应短程连接占优，而较高“温度”（高 <math>\beta</math>）则是对不同长度连接的生成概率的平衡。

<math>\mathbb{S}^D</math>模型具有纯几何形式—— <math>\mathbb{H}^{D+1}</math>模型[72]，其中隐藏度 <math>\kappa</math>对应于径向坐标 <math>r</math>，从而将连接概率（方程(4)）转换为仅依赖于双曲空间中节点间距的费米-狄拉克函数。Mercator工具[79,80]通过统计推断与机器学习技术，最大化观测网络结构与 <math>\mathbb{S}^D</math>（等价于 <math>\mathbb{H}^{D+1}</math>）模型[81]的契合度，将真实网络嵌入此空间。生成的空间映射可进一步用于可视化、分析、导航及重整化等下游任务。

<math>\mathbb{S}^D</math>模型具有纯几何形式—— <math>\mathbb{H}^{D+1}</math>模型[72]，其中隐藏度 <math>\kappa</math>对应于径向坐标 <math>r</math>，从而将连接概率（方程(4)）转换为仅依赖于双曲空间中节点间距的费米-狄拉克函数。Mercator工具[79,80]通过统计推断与机器学习技术，最大化观测网络结构与 <math>\mathbb{S}^D</math>（等价于 <math>\mathbb{H}^{D+1}</math>）模型[81]的契合度，将真实网络嵌入此空间。生成的空间映射可进一步用于可视化、分析、导航及重整化等下游任务。

该模型族能有效解释真实网络连接性的关键特征，包括异质度分布[42,72,82]、显著集聚性[42,72,82–84]、小世界现象[42,85–87]、渗流性质[88–90]、谱特征[91]及自相似性[42]。该框架还可以进一步扩展至生长网络的优先连接机制[92]、加权网络[93]、二部网络[94,95]、互补性驱动网络[96]、多层网络[97,98]、具有社区结构的网络[99–101]、有向网络[102]以及节点含关联特征的网络[103]。

该模型族能有效解释真实网络连接性的关键特征，包括异质度分布[42,72,82]、显著集聚性[42,72,82–84]、小世界现象[42,85–87]、渗流性质[88–90]、谱特征[91]及自相似性[42]。该框架还可以进一步扩展至生长网络的优先连接机制[92]、加权网络[93]、二部网络[94,95]、互补性驱动网络[96]、多层网络[97,98]、具有社区结构的网络[99–101]、有向网络[102]以及节点含关联特征的网络[103]。