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→将拉普拉斯扩散视为近邻检测
设 <math>X^{(0)}(\tau)</math>代表定义在网络上的扩散场在时刻 <math>\tau</math>的值，并记 <math>X_{i_0}^{(0)}(\tau)</math>为节点 <math>i_0</math>的分量，假设其遵循热扩散方程 <math>\mathring{X}^{(0)} = -L^{(0)}X^{(0)}(\tau)</math>，则可形式化表示为
设 <math>X^{(0)}(\tau)</math>代表定义在网络上的扩散场在时刻 <math>\tau</math>的值，并记 <math>X_{i_0}^{(0)}(\tau)</math>为节点 <math>i_0</math>的分量，假设其遵循热扩散方程 <math>\mathring{X}^{(0)} = -L^{(0)}X^{(0)}(\tau)</math>，则可形式化表示为
<math>X^{(0)}(\tau) = K^{(0)}(\tau)X^{(0)}(0) = \mathrm{e}^{-\tau L^{(0)}}X^{(0)}(0),\tag{7}</math>
<math>X^{(0)}(\tau) = K^{(0)}(\tau)X^{(0)}(0) = \mathrm{e}^{-\tau L^{(0)}}X^{(0)}(0),\tag{7}</math>
其中扩散演化算子 <math>K^{(0)}(\tau) \equiv \mathrm{e}^{-\tau L^{(0)}}</math>。矩阵元素 <math>K_{i_0j_0}^{(0)}</math>给出了该场在时间 <math>\tau</math>内从节点 <math>j_0</math>到 <math>i_0</math>(及反向)通过所有可能路径发生的扩散的比例[115,116]。
其中扩散演化算子 <math>K^{(0)}(\tau) \equiv \mathrm{e}^{-\tau L^{(0)}}</math>。矩阵元素 <math>K_{i_0j_0}^{(0)}</math>给出了该场在时间 <math>\tau</math>内从节点 <math>j_0</math>到 <math>i_0</math>(及反向)通过所有可能路径发生的扩散的比例[115,116]。
设 <math>L^{(0)}</math>的特征值为 <math>\{\lambda_i^{(0)}\}_{i=1}^{N_0}</math>(满足 <math>\lambda_1^{(0)} \leq \lambda_2^{(0)} \leq \cdots \leq \lambda_{N_0}^{(0)}</math>)，对应特征向量为 <math>\{\boldsymbol{v}_i^{(0)}\}_{i=1}^{N_0}</math>。对于连通无向网络，所有特征值非负且仅含一个零特征值，且可将特征向量正交归一化。 <math>K^{(0)}(\tau)</math>共享了特征值为 <math>0 < \mathrm{e}^{-\lambda_i^{(0)}\tau} \leq 1</math>的特征向量。参数 <math>\tau</math>可视为网络尺度度量：较大 <math>\tau</math>对应扩散连接的更大邻域。例如对格点来说，每个 <math>\tau</math>对应空间尺度 <math>l = \sqrt{D\tau}</math>( <math>D</math>为扩散常数)，此时 <math>K^{(0)}(\tau)</math>在每个时间 <math>\tau</math>都诱导了网络的一个最优划分[117]。
设 <math>L^{(0)}</math>的特征值为 <math>\{\lambda_i^{(0)}\}_{i=1}^{N_0}</math>(满足 <math>\lambda_1^{(0)} \leq \lambda_2^{(0)} \leq \cdots \leq \lambda_{N_0}^{(0)}</math>)，对应特征向量为 <math>\{\boldsymbol{v}_i^{(0)}\}_{i=1}^{N_0}</math>。对于连通无向网络，所有特征值非负且仅含一个零特征值，且可将特征向量正交归一化。 <math>K^{(0)}(\tau)</math>共享了特征值为 <math>0 < \mathrm{e}^{-\lambda_i^{(0)}\tau} \leq 1</math>的特征向量。参数 <math>\tau</math>可视为网络尺度度量：较大 <math>\tau</math>对应扩散连接的更大邻域。例如对格点来说，每个 <math>\tau</math>对应空间尺度 <math>l = \sqrt{D\tau}</math>( <math>D</math>为扩散常数)，此时 <math>K^{(0)}(\tau)</math>在每个时间 <math>\tau</math>都诱导了网络的一个最优划分[117]。