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→节点聚合下的不变性
=== 节点聚合下的不变性 ===
=== 节点聚合下的不变性 ===
所求的聚合不变随机图概念在思想上类似于稳定随机变量[140-142]，即组合后仍服从相同分布的随机变量（例如求和[141,142]或取极大值后[143,144]）。此处使用在粗粒化方法小节末尾所引入的符号：考虑以概率 <math>P_\ell\left(A^{(\ell)} \mid \Theta_\ell\right)</math>生成具体实现 <math>A^{(\ell)}</math>的随机图系综，其中 <math>\Theta_\ell</math>是模型所有参数的集合。给定概率分布 <math>P_\ell\left(A^{(\ell)} \mid \Theta_\ell\right)</math>和任意划分 <math>\Omega_\ell</math>，可在高一层级 <math>\ell+1</math>导出结果一个图系综由特定概率分布 <math>P_{\ell}\left(A^{(\ell-1)} \mid \Theta_\ell\right)</math>描述（图3a）。多尺度重整化方法[147]的核心思想是：识别在所有层次和所有可能的划分下保持不变的图概率分布函数的形式（因此可从 <math>P_{\ell}</math>中省略下标 <math>\ell</math>）。只有（重整化）参数 <math>\Theta_{\ell+1}</math>允许依赖层级 <math>\ell+1</math>，且通常是通过 <math>\Omega_\ell</math>与 <math>\Theta_\ell</math>关联。该条件对应于通过在图概率空间中识别重整化群流不动点来实现参数的精确重整化。
图3 多尺度网络重整化方法。 a. 给定邻接矩阵为 <math>A^{(\ell)}</math> 、参数集为 <math>\Theta_{\ell}</math> 的图概率分布 <math>P_{\ell}(A^{(\ell)} | \Theta_{\ell})</math> ，节点划分 <math>\Omega_{\ell}</math> 将节点集映射到粗粒化邻接矩阵 <math>A^{(\ell+1)}</math> 的“块节点”上。若存在从 <math>i_{\ell}</math> 到 <math>j_{\ell}</math> 的连接（其中 <math>i_{\ell} \in I_{\ell+1}, j_{\ell} \in J_{\ell+1}</math> ），则绘制该连接。需注意，层级 <math>\ell</math> 的多个图可能在层级 <math>\ell+1</math> 合并为同一图，因此粗粒化将诱导下一层级图的新概率分布 <math>P_{\ell+1}(A^{(\ell+1)} | \Theta_{\ell+1})</math> 。多尺度方法旨在寻找该概率的尺度不变形式。 b. 基于多尺度模型预测重整化国际贸易网络在不同地理聚合层级的局域拓扑性质。首行展示三个代表性层级（ <math>\ell_1, \ell_2, \ell_3</math> ，对应 <math>N_{\ell_1} = 183</math> （左）、 <math>N_{\ell_2} = 100</math> （中）、 <math>N_{\ell_3} = 50</math> （右））中所有 <math>N_{\ell}</math> 个节点的观测与预测度值 <math>k_{i_{\ell}}</math> 随 <math>\ln(\text{GDP}_{i_{\ell}})</math> 的变化。中间行对应相同层级下所有节点的观测与预测最近邻平均度 <math>k_{i_{\ell}}^{\text{nn}}</math> 。末行展示相同条件下局域聚类系数 <math>c_{i_{\ell}}</math> 的观测与预测值。GDP 表示国内生产总值。图转载自文献[137]，遵循 CC BY 4.0 协议。
=== 带独立边的多尺度模型 ===
=== 带独立边的多尺度模型 ===