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== 几何网络重整化 ==

== 几何网络重整化 ==

复杂网络中的空间局部性可通过几何框架恢复[67]，将真实网络嵌入双曲空间，转化结构异质性与非局部性为局部性特征，恢复几何重整化群方法的适用性[68–71]。

复杂网络中的空间局部性可通过几何框架恢复<ref name="Boguñá_Network_geometry">{{cite journal|author1=Boguñá M.|title=Network geometry|journal=Nat. Rev. Phys.|year=2021|volume=3|url=}}</ref>，将真实网络嵌入双曲空间，转化结构异质性与非局部性为局部性特征，恢复几何重整化群方法的适用性<ref name="García-Pérez_Multiscale_unfolding">{{cite journal|author1=García-Pérez G|author2=Boguñá M|author3=Serrano M. Á.|title=Multiscale unfolding of real networks by geometric renormalization|journal=Nat. Phys.|year=2018|volume=14|url=}}</ref><ref name="Zheng_Geometric_branching_growth">{{cite journal|author1=Zheng M|author2=García-Pérez G|author3=Boguñá M|author4=Serrano M. Á.|title=Scaling up real networks by geometric branching growth|journal=Proc. Natl Acad. Sci. USA|year=2021|url=}}</ref><ref name="Zheng_Geometric_renormalization_weighted">{{cite journal|author1=Zheng M|author2=García-Pérez G|author3=Boguñá M|author4=Serrano M. Á.|title=Geometric renormalization of weighted networks|journal=Commun. Phys.|year=2024|volume=7|url=}}</ref><ref name="Kolk_Weak_geometric_coupling">{{cite journal|author1=Kolk J|author2=Serrano M|author3=Boguñá M.|title=Renormalization of networks with weak geometric coupling|journal=Phys. Rev. E|year=2024|volume=110|url=}}</ref>。

=== 几何模型 ===

=== 几何模型 ===

几何软配置模型[42,72]基于节点间的流行度（popularity）与相似性（similarity）来定义节点间的度量距离。这些抽象维度的结合使得双曲几何成为可嵌入层级结构与小世界结构的最自然的空间。此空间中的距离编码了节点间形成连接的概率，邻近节点更倾向于连接。该方法与随机几何图[73,74]及社交网络隐空间模型[75]的思路相似。

几何软配置模型<ref name="Serrano_Self_similarity_hidden_metric">{{cite journal|author1=Serrano M. Á.|author2=Krioukov D|author3=Boguñá M.|title=Self-similarity of complex networks and hidden metric spaces|journal=Phys. Rev. Lett.|year=2008|volume=100|url=}}</ref><ref name="Krioukov_Hyperbolic_geometry">{{cite journal|author1=Krioukov D|author2=Papadopoulos F|author3=Kitsak M|author4=Vahdat A|author5=Boguñá M.|title=Hyperbolic geometry of complex networks|journal=Phys. Rev. E|year=2010|volume=82|url=}}</ref>基于节点间的流行度（popularity）与相似性（similarity）来定义节点间的度量距离。这些抽象维度的结合使得双曲几何成为可嵌入层级结构与小世界结构的最自然的空间。此空间中的距离编码了节点间形成连接的概率，邻近节点更倾向于连接。该方法与随机几何图<ref name="Gilbert_Random_plane_networks">{{cite journal|author1=Gilbert E. N.|title=Random plane networks|journal=J. Soc. Indust. Appl. Math.|year=1961|volume=9|url=}}</ref><ref name="Penrose_Random_Geometric_Graphs">{{cite journal|author1=Penrose M.|title=Random Geometric Graphs|journal=Oxford Univ. Press|year=2003|volume=5|url=}}</ref>及社交网络隐空间模型<ref name="Hoff_Latent_space_approaches">{{cite journal|author1=Hoff P. D.|author2=Raftery A. E.|author3=Handcock M. S.|title=Latent space approaches to social network analysis|journal=J. Am. Stat. Assoc.|year=2002|volume=97|url=}}</ref>的思路相似。

在该模型的牛顿版本[42]（称为 <math>\mathbb{S}^D</math>模型）中，第 <math>\ell = 0</math>层的每个节点 <math>i_0</math>（ <math>i_0 = 1, \dots, N_0</math>）被赋予一个流行度变量及相似性空间中的坐标。流行度由隐藏度 <math>\kappa_{i_0}</math>编码，该隐藏度从任意分布 <math>\rho(\kappa)</math>中抽取，通常为指数 <math>-\gamma</math>的幂律分布（ <math>\gamma > 0</math>）。当维度 <math>D = 1</math>时，相似性空间为半径为 <math>R_0</math>的一维球面，其设计需满足 <math>N_0</math>个节点以恒定密度分布，其中每个节点 <math>i_0</math>被赋予角坐标 <math>\theta_{i_0}</math>，由此定义节点对 <math>i_0</math>与 <math>j_0</math>之间的角距离 <math>\Delta\theta_{i_0 j_0}</math>。节点 <math>i_0</math>与 <math>j_0</math>的连接概率 <math>p_{i_0 j_0}</math>遵循引力定律形式[76]，并定义了最大熵[2]系综

在该模型的牛顿版本<ref name="Serrano_Self_similarity_hidden_metric">{{cite journal|author1=Serrano M. Á.|author2=Krioukov D|author3=Boguñá M.|title=Self-similarity of complex networks and hidden metric spaces|journal=Phys. Rev. Lett.|year=2008|volume=100|url=}}</ref>（称为 <math>\mathbb{S}^D</math>模型）中，第 <math>\ell = 0</math>层的每个节点 <math>i_0</math>（ <math>i_0 = 1, \dots, N_0</math>）被赋予一个流行度变量及相似性空间中的坐标。流行度由隐藏度 <math>\kappa_{i_0}</math>编码，该隐藏度从任意分布 <math>\rho(\kappa)</math>中抽取，通常为指数 <math>-\gamma</math>的幂律分布（ <math>\gamma > 0</math>）。当维度 <math>D = 1</math>时，相似性空间为半径为 <math>R_0</math>的一维球面，其设计需满足 <math>N_0</math>个节点以恒定密度分布，其中每个节点 <math>i_0</math>被赋予角坐标 <math>\theta_{i_0}</math>，由此定义节点对 <math>i_0</math>与 <math>j_0</math>之间的角距离 <math>\Delta\theta_{i_0 j_0}</math>。节点 <math>i_0</math>与 <math>j_0</math>的连接概率 <math>p_{i_0 j_0}</math>遵循引力定律形式<ref name="Boguñá_Small_worlds_clustering">{{cite journal|author1=Boguñá M|author2=Krioukov D|author3=Almagro P|author4=Serrano M. Á.|title=Small worlds and clustering in spatial networks|journal=Phys. Rev. Res.|year=2020|volume=2|url=}}</ref>，并定义了最大熵<ref name="Squartini_Maximum_Entropy_Networks">{{cite journal|author1=Squartini T|author2=Garlaschelli D.|title=Maximum-Entropy Networks: Pattern Detection, Network Reconstruction and Graph Combinatorics|journal=Springer|year=2017|url=}}</ref>系综

<math>p_{i_0 j_0} = \frac{1}{1 + X_{i_0 j_0}}, \tag{4}</math>

<math>p_{i_0 j_0} = \frac{1}{1 + X_{i_0 j_0}}, \tag{4}</math>

其中

其中

<math>X_{i_0 j_0} = \frac{(R_0 \Delta \theta_{i_0 j_0})^{\beta}}{(\mu_0 \kappa_{i_0} \kappa_{j_0})^{\max(1,\beta)}}. \tag{5}</math>

<math>X_{i_0 j_0} = \frac{(R_0 \Delta \theta_{i_0 j_0})^{\beta}}{(\mu_0 \kappa_{i_0} \kappa_{j_0})^{\max(1,\beta)}}. \tag{5}</math>

参数 <math>\mu_0</math>决定了平均度 <math>\langle k \rangle_0</math>，且各节点的期望度与其 <math>\kappa</math>值成正比。 <math>\beta</math>调控网络拓扑的集聚性，反映隐空间中的三角不等式约束，并作为逆温度参数[76,77]。

参数 <math>\mu_0</math>决定了平均度 <math>\langle k \rangle_0</math>，且各节点的期望度与其 <math>\kappa</math>值成正比。 <math>\beta</math>调控网络拓扑的集聚性，反映隐空间中的三角不等式约束，并作为逆温度参数<ref name="Boguñá_Small_worlds_clustering">{{cite journal|author1=Boguñá M|author2=Krioukov D|author3=Almagro P|author4=Serrano M. Á.|title=Small worlds and clustering in spatial networks|journal=Phys. Rev. Res.|year=2020|volume=2|url=}}</ref><ref name="Kolk_Anomalous_phase_transition">{{cite journal|author1=Kolk J|author2=Serrano M. Á.|author3=Boguñá M.|title=An anomalous topological phase transition in spatial random graphs|journal=Commun. Phys.|year=2022|volume=5|url=}}</ref>。

该模型在 <math>\beta = 1</math>处呈现反常拓扑相变（参考文献[77]）。在几何相（ <math>\beta > 1</math>）中，集聚系数保持有限值[42]；而在非几何相（ <math>0 \leq \beta \leq 1</math>）的热力学极限下，集聚系数趋于零。然而，在准几何区域 <math>0.5 \lessapprox \beta < 1</math>内，集聚系数衰减至零的速度极慢[78]，表明有限规模网络仍保留显著水平的集聚性，能够与某些真实复杂网络具有相当性质。因此，较低“温度”（低 <math>\beta</math>）对应短程连接占优，而较高“温度”（高 <math>\beta</math>）则是对不同长度连接的生成概率的平衡。

该模型在 <math>\beta = 1</math>处呈现反常拓扑相变（参考文献[77]）。在几何相（ <math>\beta > 1</math>）中，集聚系数保持有限值[42]；而在非几何相（ <math>0 \leq \beta \leq 1</math>）的热力学极限下，集聚系数趋于零。然而，在准几何区域 <math>0.5 \lessapprox \beta < 1</math>内，集聚系数衰减至零的速度极慢[78]，表明有限规模网络仍保留显著水平的集聚性，能够与某些真实复杂网络具有相当性质。因此，较低“温度”（低 <math>\beta</math>）对应短程连接占优，而较高“温度”（高 <math>\beta</math>）则是对不同长度连接的生成概率的平衡。