更改

<math>\mathbb{S}^1</math> 或 <math>\mathbb{H}^1</math> 模型通过对网络的双曲映射进行迭代操作，从而为复杂网络的几何重整化群奠定了基础[68-71]。在 <math>\ell = 0</math> 层中配置好嵌入空间中的坐标后，通过粗粒化和重标度得到新的一层 <math>\ell = 1</math>。这涉及通过分区 <math>\Omega_0</math>将相似性子空间划分为 <math>N_1</math> 个扇区（即重整化三步曲中的第一步），使同一扇区 <math>i_1</math>（ <math>i_1 = 1, \cdots, N_1</math>）内的节点 <math>\{i_0\} \in i_1</math> 成为超节点。如果原始节点之间至少存在一个连接，如公式 (2) 所示（图1a），则超节点之间建立连边，从而平均掉更尺度更小的细节。迭代此过程，通过逐步选择更长程的连接，生成跨尺度 <math>\ell \geq 0</math> 的重整化流。

<math>\mathbb{S}^1</math> 或 <math>\mathbb{H}^1</math> 模型通过对网络的双曲映射进行迭代操作，从而为复杂网络的几何重整化群奠定了基础[68-71]。在 <math>\ell = 0</math> 层中配置好嵌入空间中的坐标后，通过粗粒化和重标度得到新的一层 <math>\ell = 1</math>。这涉及通过分区 <math>\Omega_0</math>将相似性子空间划分为 <math>N_1</math> 个扇区（即重整化三步曲中的第一步），使同一扇区 <math>i_1</math>（ <math>i_1 = 1, \cdots, N_1</math>）内的节点 <math>\{i_0\} \in i_1</math> 成为超节点。如果原始节点之间至少存在一个连接，如公式 (2) 所示（图1a），则超节点之间建立连边，从而平均掉更尺度更小的细节。迭代此过程，通过逐步选择更长程的连接，生成跨尺度 <math>\ell \geq 0</math> 的重整化流。

几何重整化表明，多尺度自相似性可以作为真实世界的网络中跨领域普遍存在的对称性[68,71]，并且还能准确预测人类大脑连接组的多尺度重构中观察到的自相似性，这些发现表明几何重整化非常接近于小世界和非小世界机制之间的临界结构转变[104]（图1b）。这些发现可由 <math>\mathbb{S}^1</math> 或 <math>\mathbb{H}^2</math> 模型在几何（ <math>\beta > 1</math>）[68] 和非几何（ <math>\beta \leq 1</math>）[71] 机制下的可重整化性所解释。对隐藏度的尺度变换是通过要求连接概率不变性（公式 (4)）的条件下获得的。角度坐标流式可由任何保持原始模型旋转不变性的变换来定义。记 <math>z_{i_\ell} = \kappa_{i_\ell}^{\max(1, \beta)}</math>，则保持连接概率并因而在重整化流中能够保持网络拓扑性质的变换可写为

几何重整化表明，多尺度自相似性可以作为真实世界的网络中跨领域普遍存在的对称性<ref name="García-Pérez_Multiscale_unfolding">{{cite journal|author1=García-Pérez G|author2=Boguñá M|author3=Serrano M. Á.|title=Multiscale unfolding of real networks by geometric renormalization|journal=Nat. Phys.|year=2018|volume=14|url=}}</ref><ref name="Kolk_Weak_geometric_coupling">{{cite journal|author1=Kolk J|author2=Serrano M|author3=Boguñá M.|title=Renormalization of networks with weak geometric coupling|journal=Phys. Rev. E|year=2024|volume=110|url=}}</ref>，并且还能准确预测人类大脑连接组的多尺度重构中观察到的自相似性，这些发现表明几何重整化非常接近于小世界和非小世界机制之间的临界结构转变<ref name="Zheng_Geometric_renormalization_connectome">{{cite journal|author1=Zheng M|author2=Allard A|author3=Hagmann P|author4=Alemán-Gómez Y|author5=Serrano M. Á.|title=Geometric renormalization unravels self-similarity of the multiscale human connectome|journal=Proc. Natl Acad. Sci. USA|year=2020|volume=117|url=}}</ref>（图1b）。这些发现可由 <math>\mathbb{S}^1</math> 或 <math>\mathbb{H}^2</math> 模型在几何（ <math>\beta > 1</math>）<ref name="García-Pérez_Multiscale_unfolding">{{cite journal|author1=García-Pérez G|author2=Boguñá M|author3=Serrano M. Á.|title=Multiscale unfolding of real networks by geometric renormalization|journal=Nat. Phys.|year=2018|volume=14|url=}}</ref> 和非几何（ <math>\beta \leq 1</math>）<ref name="Kolk_Weak_geometric_coupling">{{cite journal|author1=Kolk J|author2=Serrano M|author3=Boguñá M.|title=Renormalization of networks with weak geometric coupling|journal=Phys. Rev. E|year=2024|volume=110|url=}}</ref> 机制下的可重整化性所解释。对隐藏度的尺度变换是通过要求连接概率不变性（公式 (4)）的条件下获得的。角度坐标流式可由任何保持原始模型旋转不变性的变换来定义。记 <math>z_{i_\ell} = \kappa_{i_\ell}^{\max(1, \beta)}</math>，则保持连接概率并因而在重整化流中能够保持网络拓扑性质的变换可写为

<math>z_{i_{\ell+1}} = \sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell}, \quad \theta_{i_{\ell+1}} = \frac{\sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell} \theta_{i_\ell}}{\sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell}}.\tag{6}</math>

<math>z_{i_{\ell+1}} = \sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell}, \quad \theta_{i_{\ell+1}} = \frac{\sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell} \theta_{i_\ell}}{\sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell}}.\tag{6}</math>

其中，约定 <math>i_\ell \in i_{\ell+1}</math> 表示属于超节点 <math>i_{\ell+1}</math> 的节点。上述变换重整化了耦合系数和参数值。

其中，约定 <math>i_\ell \in i_{\ell+1}</math> 表示属于超节点 <math>i_{\ell+1}</math> 的节点。上述变换重整化了耦合系数和参数值。

全局参数的演化如下： <math>R_{\ell+1} = R_\ell / r_\ell</math>， <math>\mu_{\ell+1} = \mu_\ell / r^{\min(1, \beta)}</math>，其中 <math>r</math> 是等大小超节点中的节点数， <math>\beta</math> 是尺度不变的。这些变换满足半群性质：用 <math>r</math> 个节点的组重整化两次等同于用 <math>r^2</math> 个节点的组重整化一次。概率 <math>p_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}</math> 保持 <math>p_{i_\ell j_\ell}</math> 的原始形式，当 <math>\beta > 1</math> 时（参考文献 [68]），平均度 <math>\langle k \rangle</math> 是具有流 <math>\langle k \rangle_{\ell+1} = r^\nu \langle k \rangle_\ell</math>的观测量。只要具备良好的嵌入，上述行为性质也适用于真实网络。真实网络通畅具备典型特征 <math>\nu > 0</math>， 表明流会趋向于高连接度的图；而如果 <math>\nu < 0</math>，网络的流会趋向于一维环；在小世界和非小世界阶段之间的转变处， <math>\nu = 0</math>，平均度保持不变（更多细节见原文附录）。最后，对于 <math>\beta \leq 1</math>，链接数在重整化下保持不变[71]。

全局参数的演化如下：

 

<math>R_{\ell+1} = R_\ell / r_\ell</math>， <math>\mu_{\ell+1} = \mu_\ell / r^{\min(1, \beta)}</math>，其中 <math>r</math> 是等大小超节点中的节点数， <math>\beta</math> 是尺度不变的。这些变换满足半群性质：用 <math>r</math> 个节点的组重整化两次等同于用 <math>r^2</math> 个节点的组重整化一次。概率 <math>p_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}</math> 保持 <math>p_{i_\ell j_\ell}</math> 的原始形式，当 <math>\beta > 1</math> 时（参考文献 <ref name="García-Pérez_Multiscale_unfolding">{{cite journal|author1=García-Pérez G|author2=Boguñá M|author3=Serrano M. Á.|title=Multiscale unfolding of real networks by geometric renormalization|journal=Nat. Phys.|year=2018|volume=14|url=}}</ref>），平均度 <math>\langle k \rangle</math> 是具有流 <math>\langle k \rangle_{\ell+1} = r^\nu \langle k \rangle_\ell</math>的观测量。只要具备良好的嵌入，上述行为性质也适用于真实网络。真实网络通畅具备典型特征 <math>\nu > 0</math>， 表明流会趋向于高连接度的图；而如果 <math>\nu < 0</math>，网络的流会趋向于一维环；在小世界和非小世界阶段之间的转变处， <math>\nu = 0</math>，平均度保持不变（更多细节见原文附录）。最后，对于 <math>\beta \leq 1</math>，链接数在重整化下保持不变<ref name="Kolk_Weak_geometric_coupling">{{cite journal|author1=Kolk J|author2=Serrano M|author3=Boguñá M.|title=Renormalization of networks with weak geometric coupling|journal=Phys. Rev. E|year=2024|volume=110|url=}}</ref>。

=== 推广到带权网络 ===

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