更改

* '''吸引随机性'''：吸引随机性体现在系统最终会掉入哪个吸引子。我们可以定义一个依赖于噪音的吸引子 <math>A(\omega)</math>，它表示从某个初始状态 <math>x</math> 出发，最终进入的那个 <math>R_i</math>。<math>A(\omega)</math> 是一个随机变量，其取值范围是 <math>{R_1, ..., R_m}</math>。

* '''吸引随机性'''：吸引随机性体现在系统最终会掉入哪个吸引子。我们可以定义一个依赖于噪音的吸引子 <math>A(\omega)</math>，它表示从某个初始状态 <math>x</math> 出发，最终进入的那个 <math>R_i</math>。<math>A(\omega)</math> 是一个随机变量，其取值范围是 <math>{R_1, ..., R_m}</math>。

* '''稳态分布'''：存在多个平稳分布，每个 <math>\pi_i</math> 的支撑集都在一个吸引子 <math>R_i</math> 上。

* '''稳态分布'''：存在多个平稳分布，每个 <math>\pi_i</math> 的支撑集都在一个吸引子 <math>R_i</math> 上。

这时存在非平凡的随机吸引子 <math>A(\omega)</math>：如果 <math>\phi(k, \omega, x_0)</math> 处于子类 <math>C_j</math> 中，那么 <math>A(\theta^k \omega) = C_j</math>。

这时存在非平凡的随机吸引子 <math>A(\omega)</math>：如果 <math>\phi(k, \omega, x_0)</math> 处于子类 <math>C_j</math> 中，那么 <math>A(\theta^k \omega) = C_j</math>。

验证过程如下：

验证过程如下：

* '''不变性'''：假设在 <math>\omega</math> 下 <math>A(\omega) = C_j</math>。根据周期性，<math>(1, \omega, C_j) = C_{(j+1) mod d}</math>。而此时新的噪音是 <math>\theta \omega</math>，其对应的吸引子形态正是 <math>A(\theta \omega) = C_{(j+1) mod d}</math>。因此 <math>\phi(1, \omega, A(\omega)) = A(\theta \omega)</math> 成立。

* '''不变性'''：假设在 <math>\omega</math> 下 <math>A(\omega) = C_j</math>。根据周期性，<math>(1, \omega, C_j) = C_{(j+1) \mod d}</math>。而此时新的噪音是 <math>\theta \omega</math>，其对应的吸引子形态正是 <math>A(\theta \omega) = C_{(j+1) \mod d}</math>。因此 <math>\phi(1, \omega, A(\omega)) = A(\theta \omega)</math> 成立。

* '''稳态分布'''：唯一的平稳分布 <math>\pi</math> 描述了在整个循环周期内，系统在每个状态的平均访问频率。尽管在任何时刻 <math>k</math>，概率分布都集中在某一个 <math>C_j</math> 上，但时间平均后会收敛到 <math>\pi_i</math>。

* '''稳态分布'''：唯一的平稳分布 <math>\pi</math> 描述了在整个循环周期内，系统在每个状态的平均访问频率。尽管在任何时刻 <math>k</math>，概率分布都集中在某一个 <math>C_j</math> 上，但时间平均后会收敛到 <math>\pi_i</math>。