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==稳态分布下的随机动力学划分==

==稳态分布下的随机动力学划分==

在介绍随机动力学之前，我们需要从另一个视角来讨论马尔科夫链的 '''状态分布'''。

随机动力学为我们提供了另一个视角来讨论马尔科夫链的 '''状态分布'''。

需提醒的是，虽然马尔科夫链是一个随机过程，但一个马尔科夫链的 '''实例''' 在演化（根据TPM的随机选择）过程的每一步中，仍然是一个确定的状态，而不会变成一个分布；就像一个粒子在网络里流动，在 <math>t</math> 步以后它仍然是一个处于某个节点的粒子，而不是分裂成了n个散落在各个节点上的部分。

需提醒的是，虽然马尔科夫链是一个随机过程，但一个马尔科夫链的 '''实例''' 在演化（根据 TPM 的随机选择）过程的每一步中，仍然是一个确定的状态，而不会变成一个分布；就像一个粒子在网络里流动，在 <math>t</math> 步以后它仍然是一个处于某个节点的粒子，而不是分裂成了 n 个散落在各个节点上的部分。

所以，马尔科夫链在 <math>t</math> 时刻的 '''状态分布''' 是指，当我们给定一个初始状态分布 <math>\mu</math> 时，'''推断/估计''' 这个系统在 <math>t</math> 时刻处在各个状态的概率是多少。

所以，马尔科夫链在 <math>t</math> 时刻的 '''状态分布''' 是指，当我们给定一个初始状态分布 <math>\mu</math> 时，'''推断/估计''' 这个系统在 <math>t</math> 时刻处在各个状态的概率是多少。

另一个视角是，我们可以复制无限多份并行的系统，让这些系统的初始状态服从分布 <math>\mu</math>，并各自演化（根据TPM的随机选择）<math>t</math> 步后，我们再去统计这一大群系统中处于每个状态的比例，就是 <math>t</math> 时刻的 '''状态分布''' 了。

另一种视角是，我们可以复制无限多份并行的系统，让这些系统的初始状态服从分布 <math>\mu</math>，并各自演化（根据TPM的随机选择）<math>t</math> 步后，我们再去统计这一大群系统中处于每个状态的比例，就是 <math>t</math> 时刻的 '''状态分布''' 了。

# '''基础驱动系统（Base Driving System）'''：可以想象成一个源源不断产生随机影响的环境。它是一个无穷的噪声序列 <math>\Omega = \{ ... , \omega_{-1}, \omega_0, \omega_1, ... | \omega_i \in W \}</math> 。时间的流逝，就是这个序列不断向左移动（<math>\theta </math> 操作），让未来的噪声变成当前的噪声。

# '''基础驱动系统（Base Driving System）'''：可以想象成一个源源不断产生随机影响的环境。它是一个无穷的噪声序列 <math>\Omega = \{ ... , \omega_{-1}, \omega_0, \omega_1, ... | \omega_i \in W \}</math> 。时间的流逝，就是这个序列不断向左移动（<math>\theta </math> 操作），让未来的噪声变成当前的噪声。

# '''演化余循环 （Evolution Cocycle）'''：这是一个'''演化规则'''<math>\phi</math>，它告诉我们系统在当前状态 <math>x</math> 和当前噪声 <math>\omega_0</math> 的共同作用下，下一步会变成什么样。这个规则必须保证演化的连续性（比如演化 <math>s+t</math> 步等于先演化 <math>s</math> 步再演化 <math>t</math> 步）。

# '''演化余循环 （Evolution Cocycle）'''：这是一个'''演化规则'''<math>\phi</math>，它告诉我们系统在当前状态 <math>x</math> 和当前噪声 <math>\omega_0</math> 的共同作用下，下一步会变成什么样。为了能准确的描述系统演化，这个规则必须保证演化的连续性，比如演化 <math>s+t</math> 步等于先演化 <math>s</math> 步再演化 <math>t</math> 步。

将马尔科夫链放在这个框架下：它的单步转移就可以看作是演化规则 <math>\phi</math>，而每一步选择走哪条路径的随机性，就对应着噪声 <math>\omega</math>。至此，我们已经将马尔科夫链严格定义为了一个随机动力系统 <math>(\theta, \phi)</math>了。通过定义该系统的 '''不变性（Invariance）'''，我们能定义其 '''吸引性（Attraction）'''和 '''随机吸引子（Attractor）'''。

我们可以用随机动力学的框架来描述马尔科夫链：它的单步转移可以看作是演化规则 <math>\phi</math>，而每一步选择走哪条路径的随机性，就对应着噪声 <math>\omega</math>。在将马尔科夫链严格定义为了一个随机动力系统 <math>(\theta, \phi)</math>之后，我们可以定义该系统的 '''不变性（Invariance）'''，'''吸引性（Attraction）''' 和 '''随机吸引子（Attractor）'''。

1. '''紧致性 (Compactness)'''：简单来说，吸引子自身不能是无限分散的。对于有限状态的马尔科夫链，这个条件天然满足。

1. '''紧致性 (Compactness)'''：简单来说，吸引子自身不能是无限分散的。对于有限状态的马尔科夫链，这个条件天然满足。

2. '''不变性 (Invariance)'''：这是最核心的性质，意味着吸引子结构在演化中能够一直保持在其内部。随着系统演化，一旦进入吸引子，就再也无法逃逸出去。而且，吸引子结构不会凭空产生。新吸引子 <math>A(\theta \oemga)</math> 中的任何一个点，都必然是从旧吸引子 <math>A(\omega)</math> 中的某个点演化而来的。

2. '''不变性 (Invariance)'''：这是最核心的性质，意味着吸引子结构在演化中能够一直保持在其内部。随着系统演化，一旦进入吸引子，就再也无法逃逸出去。而且，吸引子结构不会凭空产生。新吸引子 <math>A(\theta \omega)</math> 中的任何一个点，都必然是从旧吸引子 <math>A(\omega)</math> 中的某个点演化而来的。

3. '''吸引性 (Pullback Attraction)'''：无论系统从哪里出发，只要时间足够长，最终都会被“拉回”到吸引子。就像你在旋涡周边的任意位置放下一艘船，让它顺着随机且难以预估的“水流”（噪声路径）漂流。当时间趋于无穷大时，你会发现，无论你最初在哪里放船，最终船都会被吸进旋涡里（即到达的位置都会无限接近于当前时刻的吸引子 <math>A(\omega)</math>）。

3. '''吸引性 (Pullback Attraction)'''：无论系统从哪里出发，只要时间足够长，最终都会被“拉回”到吸引子。就像你在旋涡周边的任意位置放下一艘船，让它顺着随机且难以预估的“水流”（噪声路径）漂流。当时间趋于无穷大时，你会发现，无论你最初在哪里放船，最终船都会被吸进旋涡里（即到达的位置都会无限接近于当前时刻的吸引子 <math>A(\omega)</math>）。